[obm-l] periodo fundamental de uma funcao

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>-----Original Message-----
>From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
>Behalf Of Artur Steiner
>Sent: Friday, January 30, 2004 5:12 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: Qual__O_perm_odo_de_uma_fungco?
>
>
>> > >O período fundamental pode não existir se o
>> conjunto dos períodos
>> > >não tiver mínimo; para funções contínuas isto só
>> ocorre se f for
>> constante
>> > >mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é
>> racional e f(x) = 0
>> > >se x é irracional, tem qualquer número racional
>> como período.
>> > >É bem óbvio que a função constante igual a 0 está
>> na nossa classe.
>> >
>> > Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função
>> contínua não tem período
>> > mínimo somente se for cnostante. Onde posso
>> encontrar alguma explanação
>> > dele?
>
Na mensagem que eu enviei ontem, a abordagem do caso em que w = inf P = 0, P
o conjunto dos periodos de f, ficou um tanto confusa, foi feita correndo. De
forma mais clara, eh o seguinte.
Como w =0, para todo eps>0 arbitrariamente escolhido podemos encontrar um p
em P tal que 0<p<eps. Assim, sendo x>0, para todo h satisfazendo a 0<h<x
podemos obter p em P tal que x-h<n*p<x (1) para algum natural n. Como p eh
periodo de f, f(n*p) = f(0). E como f eh continua em R, logo em x, temos que
f(x) - f(x-h) = o(1). o(1) designa uma funcao que (dividida por 1) tende a 0
quando h ->0. (na outra mensagem eu acabei colocando o(h), mas nao eh este o
caso). Em virtude de (1), temos entao que |f(x) - f(0)| < eps para todo
eps>0, ou seja, f(x) = f(0). Se x<0, o raciocinio eh inteiramente analogo.
Concluimos assim que f(x) = f(0) para todo x em R, isto eh, f eh constante.
Por contraposicao, concluimos tambem que, se f nao for constante, entao w>0
eh o periodo fundamental existe.
Artur

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