[obm-l] Re: Qual__O_perí_odo_de_uma_função?

[Artur Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

> > >O período fundamental pode não existir se o
> conjunto dos períodos
> > >não tiver mínimo; para funções contínuas isto só
> ocorre se f for
> constante
> > >mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é
> racional e f(x) = 0
> > >se x é irracional, tem qualquer número racional
> como período.
> > >É bem óbvio que a função constante igual a 0 está
> na nossa classe.
> > 
> > Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função
> contínua não tem período 
> > mínimo somente se for cnostante. Onde posso
> encontrar alguma explanação 
> > dele?

Eu tambem nao conhecia este teorema, aqui vao algumas
idéias. Suponhamos que f seja continua e periódica em
R e seja P o conjunto dos períodos de f. Por
definição, P eh limitado inferiormente por 0 e, desta
forma, existe w = inf P. Vamos inicialmente mostrar
que w pertence a P. Pela definição de ínfimo , temos
que w estah no fecho de P e, desta forma, existe uma
seqüência (p_n) em P que converge para w. Fixemos um x
em R. Entao, (x + p_n) converge para x+ w. Da
continuidade de f, segue-se que (f(x+p_n)) converge
para f(x+w). Mas,m da definição de periodo, temos,
para todo n, que f(x+ p_n) = f(x). Logo, (f(x+p_n)) eh
uma seqüência constante em que todos os termos
igualam-se a f(x), o que acarreta trivialmente que a
mesma convirja para f(x).  Logo, f(x+w) = f(x), o que
nos mostra que w eh período de f e que, portanto, w
estah em P. Se w>0, entao temos que w eh o período
fundamental de P.
Mas pode acontecer que w=0, caso em que não existe
período fundamental. Vamos agora mostrar que, neste
caso, f eh constante em R. Fixemos um x>0 (se x<0, o
raciocínio eh inteiramente análogo). Como w=0, para
todo natural n existe p_n em P tal que 0<p_n< 1/n^2 e,
portanto, n*p_n <1/n.. Entao, (n*p_n) ->0, o que
significa que, para todo h>0, podemos encontra n e p_n
tais que x-h < n*p_n < x. Como cada p_n eh período de
f, para cada n temos f(n*p_n) = f(0). E da
continuidade de f em R, logo em x, temos que f(x) =
f(x-h)  + o(h). Mas, como para todo h>0 conseguimos
encontrar n que satisfaça a x-h < n*p_n < x, temos que
f(x)  - f(n*p_n) = f(x) – f(0) =  o(x-n*p_n) , o que
acarreta que f(x) = f(0) . Como x eh arbitrario,
concluimos que f eh constante. Por contraposição ,
concluimos tambem que, se f não for constante, entao
w>0,e o período fundamental existe.
Artur


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