[obm-l] Re: Qual o per�odo de uma fun��o?

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Por outro lado, se f � cont�nua � f�cil demonstrar que P � fechado.
E tamb�m � f�cel demonstrar que os �nicos subgrupos aditivos fechados
de R s�o {0}, R e aZ que correspondem a uma fun��o n�o peri�dica,
a uma fun��o constante, e a uma fun��o com per�odo fundamental a.

Uma forma facil de vermos que P eh fechado se f for continua: seja p_n uma
sequencia em P que convirja para algum real p. Se x pertence a R, entao x+
p_n -> x+ p e f(x +p_n) -> f(x+p). Mas, para cada n, f(x+p_n) = f(x), de
modo que a sequencia f(x+ p_n) tem todos seus termos iguais a f(x) e,
portanto, converge para f(x). Logo f(x+p) = f(x) para todo x, do que
deduzimos que p eh um periodo de f e, em razao disto, esta em P. Toda
sequencia convergente de P tem portanto seu limite em P, o que acarreta que
P seja fechado.

Artur

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