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["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jan 30, 2004 at 04:38:49AM +0000, Márcio Pinheiro wrote:
> >O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos
> >não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante
> >mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0
> >se x é irracional, tem qualquer número racional como período.
> >É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe.
> 
> Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função contínua não tem período 
> mínimo somente se for cnostante. Onde posso encontrar alguma explanação 
> dele?
> Perdão pela insistência, mas como se resolve o problema de forma completa? É 
> possível?

O problema o Claudio Buffara já resolveu.

Definindo um período de uma função f como um número real p
(positivo, negativo ou nulo) tal que f(x+p) = f(x) para todo x
é bem claro que o conjunto P dos períodos de uma função qq é
um subgrupo aditivo de R, i.e.:

0 pertence a P,
se p pertence a P então -p pertence a P,
se p1 e p2 pertencem a P então p1 + p2 pertence a P.

Por outro lado, se P é um subgrupo aditivo de R então f, a função
característica de P tem o próprio P por conjunto dos períodos:
f(x) = 1 se x pertence a P e 0 caso contrário.
Assim todo subgrupo aditivo de R é o conjunto dos períodos
de alguma função f: R -> R.

Alguns exemplos de subgrupos aditivos de R são:
{0}, R, aZ = { an, n inteiro} (onde a > 0), Q,
p^{-infinito}Z = Z U (1/p)Z U (1/p^2)Z U ... U (1/p^k)Z U ....

Por outro lado, se f é contínua é fácil demonstrar que P é fechado.
E também é fácel demonstrar que os únicos subgrupos aditivos fechados
de R são {0}, R e aZ que correspondem a uma função não periódica,
a uma função constante, e a uma função com período fundamental a.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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