Re: [obm-l] Desigualdade complexa

[Luiz Ponce <lponce@xxxxxxxxxxxx>]

Title:

Ao amigo Buchara
aro a
 Escrevo abaixo uma possivel
solução para o problema proposto por você.
Compare com a sua solução, corrijindo possiveis falhas que venham ocorrer.
 Antes de mais nada , convencionarei  bar ( x ),  como sendo o conjugado de x
 e usarei durante a demonstração a propriedade:    |x|^2 = x. bar(x)  
 Vamos então a demonstração:
 Considere as seguintes proposições:
 S1: |a| < 1 e |b| < 1
 S2: a.bar(a) < 1 e  b . bar(b) < 1
 S3: (a.bar(a) -1 ) . (1 - b.bar(b) ) <
0
 S4: abar(a) - a.b.bar(a).bar(b) - 1 + b.bar(b) < 0
 S5: ( abar(a)  - b.bar(a) - a bar(b) +   b
bar(b)  ) + (  b.bar(a)   - a.b.bar(a).bar(b) + a bar(b) - 1 )     < 0
S6:           ( a - b) .bar(a) - ( a - b) .bar(b)                 +       (
1 - a.bar(b) ). b.bar(a)  -  ( 1 - a.bar ( b ) ) < 0
S7:           ( a - b)
. ( bar (a) - bar (b)
)                      -            
( 1 - a.bar(b) ) .( 1 - b.bar(a) )                 < 0
S8:                                          ( a - b).
bar(  ( a - b) ) <  ( 1 - b.bar(a) ). bar (1 - b.bar(a) )
S9:                                                      |a-b| ^ 2   <   |1 - b bar(a)|
^ 2
S10:                                                     | a - b|  <  |1-c.b|  
  ( c = bar (a ) )

Por outro lado,  S( i )   ------>   S ( i + 1 ) , para  todo i natural
tal que   0 < i < 10,
Portanto, sendo  a e b  complexos, tais que |a| < 1 e |b| < 1,, (com 
c = conjugado de a),
conclui-se que   |a - b| < |1 - cb|,   o
que finaliza a demonstração.

Um abraço
Do amigo 
PONCE

 Claudio Buffara escreveu:
  
>    
> Essa aqui parecia simples mas deu um certo trabalho...
>
> Se a e b sao complexos tais que |a| < 1 e |b| < 1, e se c = conjugado de a,
> prove que:
> |a - b| < |1 - cb| 
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
>
>  


Claudio Buffara escreveu:
> Essa aqui parecia simples mas deu um certo trabalho...
>
> Se a e b sao complexos tais que |a| < 1 e |b| < 1, e se c = conjugado de a,
> prove que:
> |a - b| < |1 - cb| 
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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