Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Correcao: abaixo, onde estah r+s = 1, leia-se r+s >= 1.

 
on 30.01.04 12:00, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> on 30.01.04 02:38, Márcio Pinheiro at profmarpin@hotmail.com wrote:
> 
>> 
>> 
>> 
>>> From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
>>> [obm-l] Qual O perí odo de uma função?
>>> Date: Tue, 27 Jan 2004 21:17:06 -0200
>>> 
>>>> Tudo o que você disse é verdade mas você não resolveu o problema
>>> de forma completa. O fato de 6 ser um período só garante que o período
>>> fundamental, se existir, é da forma 6/n para algum inteiro positivo n.
>>> Você não esclareceu se existem funções nesta classe com períodos
>>> fundamentais
>>> 3, 2, 3/2, 6/5, 1, 6/7, ...
>>> 
>>> O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos
>>> não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante
>>> mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0
>>> se x é irracional, tem qualquer número racional como período.
>>> É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe.
>> 
>> Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função contínua não tem período
>> mínimo somente se for cnostante. Onde posso encontrar alguma explanação
>> dele?
>> Perdão pela insistência, mas como se resolve o problema de forma completa? É
>> possível?
>> 
> Eu mandei uma msg a respeito ha alguns dias mas acho que passou
> despercebida.
> 
> Eh o seguinte: usando apenas a equacao funcional f(x+1) = f(x+2) + f(x) para
> todo x, o Artur mostrou que 6 eh um periodo de f e que 3 nao eh, pois f(x+3)
> = -f(x).
> Alem disso, 2 tambem nao eh periodo, pois se fosse, teriamos f(x+1) = 2f(x)
> ==> f(x) = f(x+2) = 2f(x+1) = 4f(x) ==> f(x) = 0, o que implica que 1 tambem
> nao eh periodo (pois se fosse, 2 = 2*1 tambem seria) e, mais geralmente,
> tambem nao eh periodo nenhum numero da forma 6/(2^r*3^s) com r, s inteiros
> nao-negativos e tais que r+s=1.
> Assim, resta apenas determinar se algum numero da forma 6/n, onde n eh primo
> com 6, eh periodo de alguma funcao que obedece a equacao funcional.
> Entretanto, se mdc(n,6) = 1, entao f(x) = sen(n*pi*x/3), uma funcao
> periodica com periodo fundamental igual a 6/n, eh tal que f(x+1) = f(x+2) +
> f(x). Logo, o periodo fundamental da funcao soh pode ser da forma 6/n, onde
> n eh primo com 6 (inclusive n = 1).
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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