Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 30.01.04 02:38, Márcio Pinheiro at profmarpin@hotmail.com wrote:

> 
> 
> 
>> From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
>> [obm-l] Qual O perí odo de uma função?
>> Date: Tue, 27 Jan 2004 21:17:06 -0200
>> 
>>> Tudo o que você disse é verdade mas você não resolveu o problema
>> de forma completa. O fato de 6 ser um período só garante que o período
>> fundamental, se existir, é da forma 6/n para algum inteiro positivo n.
>> Você não esclareceu se existem funções nesta classe com períodos
>> fundamentais
>> 3, 2, 3/2, 6/5, 1, 6/7, ...
>> 
>> O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos
>> não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante
>> mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0
>> se x é irracional, tem qualquer número racional como período.
>> É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe.
> 
> Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função contínua não tem período
> mínimo somente se for cnostante. Onde posso encontrar alguma explanação
> dele?
> Perdão pela insistência, mas como se resolve o problema de forma completa? É
> possível?
> 
Eu mandei uma msg a respeito ha alguns dias mas acho que passou
despercebida.

Eh o seguinte: usando apenas a equacao funcional f(x+1) = f(x+2) + f(x) para
todo x, o Artur mostrou que 6 eh um periodo de f e que 3 nao eh, pois f(x+3)
= -f(x).
Alem disso, 2 tambem nao eh periodo, pois se fosse, teriamos f(x+1) = 2f(x)
==> f(x) = f(x+2) = 2f(x+1) = 4f(x) ==> f(x) = 0, o que implica que 1 tambem
nao eh periodo (pois se fosse, 2 = 2*1 tambem seria) e, mais geralmente,
tambem nao eh periodo nenhum numero da forma 6/(2^r*3^s) com r, s inteiros
nao-negativos e tais que r+s=1.
Assim, resta apenas determinar se algum numero da forma 6/n, onde n eh primo
com 6, eh periodo de alguma funcao que obedece a equacao funcional.
Entretanto, se mdc(n,6) = 1, entao f(x) = sen(n*pi*x/3), uma funcao
periodica com periodo fundamental igual a 6/n, eh tal que f(x+1) = f(x+2) +
f(x). Logo, o periodo fundamental da funcao soh pode ser da forma 6/n, onde
n eh primo com 6 (inclusive n = 1).

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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