Re: [obm-l] Phi de Euler

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Com relacao a beleza matematica, uma regra que eu acho que falha pouco eh a
seguinte: se um resultado tem uma demonstracao combinatoria, entao essa
demonstracao eh a mais bonita. O unico contra-exemplo que me ocorre eh o
caso do uso de algebra linear pra se demonstrar alguns resultados de
combinatoria, mas isso eh a minha opiniao pessoal...

Outro resultado parecido que tem uma demonstracao combinatoria identica eh:
se n eh um inteiro positivo, entao d(n) eh impar se e somente se n eh
quadrado perfeito, onde d(n) = no. de divisores positivos de n.

Acho que dah pra provar que se p eh um primo tal que 2p+1 eh composto, entao
a equacao Phi(x) = 2p nao tem solucao.

Um abraco,
Claudio.

on 30.01.04 11:00, Frederico Reis Marques de Brito at fredericor@hotmail.com
wrote:

> Muito interessante essa demonstração combinatória!
> 
> Quanto a sua reformulação, ainda restringindo o contradomínio aos números
> pares a função phi é altamente não sobrejetiva...
> 
> Frederico.
> 
> 
>> From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Subject: [obm-l] Phi de Euler
>> Date: Fri, 30 Jan 2004 09:44:19 -0200
>> 
>> Oi, Platao e Duda:
>> 
>> Dentro do espirito de se buscar sempre a solucao mais bonita pra cada
>> problema, aqui vai a minha candidata pra este ai:
>> Se mdc(n,k) = 1 entao mdc(n,n-k) = 1. Logo, se n > 2, podemos arranjar os
>> inteiros positivos menores que n e primos com n em pares disjuntos da forma
>> {k,n-k}. Isso quer dizer que Phi(n) eh par para n > 2.
>> 
>> Eh claro que se k = n - k entao n = 2k e mdc(n,k) = k > 1 (a menos que k =
>> 1
>> ==> n = 2, mas esse caso jah foi descartado).
>> 
>> ****
>> 
>> E se mudarmos a pergunta original para: A imagem da funcao Phi contem todos
>> os inteiros positivos pares? (por exemplo, 14?)
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> on 30.01.04 01:04, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
>> wrote:
>> 
>>> Oi Platão e demais.
>>> 
>>> Não querendo corrigir, mas já enriquecendo a mensagem do Platão. Se n é
>>> primo (com exceção a n=2) então Phi(n) = n-1 é par. Se n é potência de
>> primo
>>> n = p^i (com i>=2) então Phi(n) = p^i - p^(i-1) também é par. Já que a
>>> função Phi é multiplicatica, isto é, se mdc(m,n)=1 então Phi(mn) =
>> Phi(m)
>>> Phi(n), então segue a conclusão de que, a menos para n = 2, Phi(n) é um
>>> número par.
>>> 
>>> Para quem não conhece (a maioria), o Platão é amigo meu, de Novo
>> Hamburgo, e
>>> portanto também gaúcho. Saudações ao mais novo membro da lista, todos
>>> esperamos boas contribuições como essa! Seja bem-vindo!
>>> 
>>> Abração,
>>> Duda.
>>> 
>>> 
>>> From: "Platão Gonçalves Terra Neto" <plataoterra@ig.com.br>
>>>> Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par.
>>>> Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja,  se
>>>> n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n>2 e pi
>>>> expoentes, então phi(n) é par.
>>>> Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1.
>>>> phi(1)=1.
>>>> Logo, phi(n) é par , para todo n>2, donde ,N* não é imagem de phi(n)
>>>> ----- Original Message -----
>>>> From: "André Martin Timpanaro" <andre_math@hotmail.com>
>>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>> Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM
>>>> Subject: [obm-l] Dúvida
>>>> 
>>>> 
>>>>> A afirmação abaixo é verdadeira?
>>>>> 
>>>>> Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que
>>> phi(m)=n.
>>>>> Onde phi(x) é a função phi de Euler.
>>>>> Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ?
>>>>> 
>>>>> André T.
>>>>> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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