RE: [obm-l] Phi de Euler

["Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@xxxxxxxxxxx>]

Muito interessante essa demonstração combinatória!

Quanto a sua reformulação, ainda restringindo o contradomínio aos números 
pares a função phi é altamente não sobrejetiva...

Frederico.


>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Phi de Euler
>Date: Fri, 30 Jan 2004 09:44:19 -0200
>
>Oi, Platao e Duda:
>
>Dentro do espirito de se buscar sempre a solucao mais bonita pra cada
>problema, aqui vai a minha candidata pra este ai:
>Se mdc(n,k) = 1 entao mdc(n,n-k) = 1. Logo, se n > 2, podemos arranjar os
>inteiros positivos menores que n e primos com n em pares disjuntos da forma
>{k,n-k}. Isso quer dizer que Phi(n) eh par para n > 2.
>
>Eh claro que se k = n - k entao n = 2k e mdc(n,k) = k > 1 (a menos que k = 
>1
>==> n = 2, mas esse caso jah foi descartado).
>
>****
>
>E se mudarmos a pergunta original para: A imagem da funcao Phi contem todos
>os inteiros positivos pares? (por exemplo, 14?)
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>on 30.01.04 01:04, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
>wrote:
>
> > Oi Platão e demais.
> >
> > Não querendo corrigir, mas já enriquecendo a mensagem do Platão. Se n é
> > primo (com exceção a n=2) então Phi(n) = n-1 é par. Se n é potência de 
>primo
> > n = p^i (com i>=2) então Phi(n) = p^i - p^(i-1) também é par. Já que a
> > função Phi é multiplicatica, isto é, se mdc(m,n)=1 então Phi(mn) = 
>Phi(m)
> > Phi(n), então segue a conclusão de que, a menos para n = 2, Phi(n) é um
> > número par.
> >
> > Para quem não conhece (a maioria), o Platão é amigo meu, de Novo 
>Hamburgo, e
> > portanto também gaúcho. Saudações ao mais novo membro da lista, todos
> > esperamos boas contribuições como essa! Seja bem-vindo!
> >
> > Abração,
> > Duda.
> >
> >
> > From: "Platão Gonçalves Terra Neto" <plataoterra@ig.com.br>
> >> Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par.
> >> Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja,  se
> >> n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n>2 e pi
> >> expoentes, então phi(n) é par.
> >> Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1.
> >> phi(1)=1.
> >> Logo, phi(n) é par , para todo n>2, donde ,N* não é imagem de phi(n)
> >> ----- Original Message -----
> >> From: "André Martin Timpanaro" <andre_math@hotmail.com>
> >> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM
> >> Subject: [obm-l] Dúvida
> >>
> >>
> >>> A afirmação abaixo é verdadeira?
> >>>
> >>> Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que
> > phi(m)=n.
> >>> Onde phi(x) é a função phi de Euler.
> >>> Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ?
> >>>
> >>> André T.
> >>>
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