[obm-l] Re: [obm-l] dúvida - poblema das casas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jan 28, 2004 at 01:32:13PM -0200, Eduardo Azevedo wrote:
> Tava fazendo esse problema das casas a um tempo atras:
> 
> http://acm.uva.es/p/v1/138.html
> 
> Ele se resume a encontrar inteiros 0 < k < n.  E a soma dos números antes de
> k tem que ser igual a soma dos números de k+1 até n. Por exemplo 1 e 1 ou 6 e
> 8, ou 71631910824649559 e 101302819786919521.

Reescreva isso como

n(n+1)/2 = 2*(k(k-1)/2) + k

ou, depois de um pouco de álgebra,

(2n + 1)^2 - 2 (2k)^2 = 1

Esta é uma modificação mínima da equação de Pell.
A equação de Pell usual é:

x^2 - a y^2 = 1

onde a é um inteiro, no nosso caso 2.
As soluções da equação de Pell estão em bijeção natural
com os elementos de norma 1 de
Z[sqrt(2)] = {x + y sqrt(2); x, y em Z}.
A norma de x + y sqrt(2) é x^2 - 2 y^2. Os elementos de norma 1
são exatamente +- as potências inteiras de 3 + 2 sqrt(2).
A partir daí não é muito difícil tirar a forma geral das soluções
do seu problema e demonstrar as suas observações experimentais.

Você pode ler sobre a equação de Pell em qq livro de teoria dos
números. Acho que já saiu um artigo na Eureka também.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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