[obm-l] Re: [obm-l] d�vida - poblema das casas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jan 28, 2004 at 01:32:13PM -0200, Eduardo Azevedo wrote:
> Tava fazendo esse problema das casas a um tempo atras:
> 
> http://acm.uva.es/p/v1/138.html
> 
> Ele se resume a encontrar inteiros 0 < k < n.  E a soma dos n�meros antes de
> k tem que ser igual a soma dos n�meros de k+1 at� n. Por exemplo 1 e 1 ou 6 e
> 8, ou 71631910824649559 e 101302819786919521.

Reescreva isso como

n(n+1)/2 = 2*(k(k-1)/2) + k

ou, depois de um pouco de �lgebra,

(2n + 1)^2 - 2 (2k)^2 = 1

Esta � uma modifica��o m�nima da equa��o de Pell.
A equa��o de Pell usual �:

x^2 - a y^2 = 1

onde a � um inteiro, no nosso caso 2.
As solu��es da equa��o de Pell est�o em bije��o natural
com os elementos de norma 1 de
Z[sqrt(2)] = {x + y sqrt(2); x, y em Z}.
A norma de x + y sqrt(2) � x^2 - 2 y^2. Os elementos de norma 1
s�o exatamente +- as pot�ncias inteiras de 3 + 2 sqrt(2).
A partir da� n�o � muito dif�cil tirar a forma geral das solu��es
do seu problema e demonstrar as suas observa��es experimentais.

Voc� pode ler sobre a equa��o de Pell em qq livro de teoria dos
n�meros. Acho que j� saiu um artigo na Eureka tamb�m.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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