Re: [obm-l] Duvida

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Jan 27, 2004 at 05:24:55PM -0300, João Silva wrote:
> Alguem sabe como se resolve:
> 
> Um homem acha-se no centro de um circulo. A periferia desse circulo é
> delimitada por uma cerca, que separa um homem de um cachorro.  Admitindo que
> o cachorro só pode correr ao longo da cerca:
> 
> - Prove que o homem pode escapar pulando a cerca sem ser mordido pelo cao se
> as velocidades maximas possiveis de serem desenvolvidas pelo cachorro e pelo
> homem entiverem entre si na razao 4 : 1.
> 
> - Determine as relacoes entre as velocidades maximas do cachorro e do homem
> para os quais o homem pode escapar.

Muito bem, acho que encontrei a estratégia correta para o homem.
Como na mensagem anterior o raio é 1, a velocidade do homem é 1
e a velocidade do cachorro é c > 1.

O homem começa andando até o círculo de raio 1/c em posição diametralmente
oposta ao cachorro. A partir daí ele tem que cobrir cada raio r, 1/c < r < 1,
e ele quer manter o ângulo entre ele e o cachorro tão grande quanto possível
(inicialmente é pi). Ele ganha se conseguir chegar a r = 1 com um ângulo
ainda positivo.

Suponha que ele está a uma distância r do centro e o cachorro está
afastado de um ângulo a. Ele pode correr fazendo um ângulo b com
o raio (para ao mesmo tempo aumentar r e conter a inevitável diminuição de a).
Ele demora um tempo dt = sec(b) dr para aumentar r de um pequeno acréscimo dr.
Durante este tempo o cachorro percorreu um ângulo c dt = c sec(b) dr
mas ele compensou a diminuição do ângulo em tan(b)/r dr. Ou seja,
da = ( tan(b)/r - c sec(b) ) dr. O homem deve escolher b de tal forma que
tan(b)/r - c sec(b) seja máximo. Com um pouco de cálculo podemos determinar
que este valor mínimo é -sqrt(c^2r^2 - 1)/r. Assim a diminuição no valor
de a é

f(c) = int_{1/c}^1 sqrt(c^2r^2 - 1)/r dr
     = sqrt(c^2 - 1) - arctan(sqrt(c^2 - 1)) 

e esta função crescente vale pi para aproximadamente

c ~= 4.603338849

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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