[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O período de uma função?

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

> On Mon, Jan 26, 2004 at 09:24:51PM +0000, Márcio Pinheiro wrote:
> > Uma de minhas várias dúvidas refere-se à seguinte pegunta: qual o
período de
> > determinada função, não necessariamente dada por uma lei de formação
> > explícita, que possui determinada propriedade?
> > Um exemplo clássico é em relação a uma função real f para a qual vale a
> > propriedade:
> > f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1,
> > sendo a um real não nulo.
>
> Acho que a única coisa que falta é exibir uma f satisfazendo esta
> condição e para a qual 4a seja período fundamental.
> O que não é muito difícil: tome b um número real e defina
>
> f(x) = b para todo x no intervalo [0,a),
>      = (1+b)/(1-b) para x no intervalo [a,2a),
>
> e assim por diante. Para quase todo b o período fundamental
> será 4a. Ou, se você estiver interessado em uma função mais bonitinha,
> tome f(x) = tan((4*x)/(a*pi)). A fórmula para f segue da fórmula
> para tan(u+v).


Não entendi, esta justificativa. Posso estar errado, mas o simples fato de
exibir uma função cujo período fundamental seja 4a realmente garante que
toda função que satisfaz  f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possui período
fundamental 4a???

Na verdade a minha dúvida (e provavelmente a do Márcio) é se é possível
garantir que 4a é o período mínimo de todas as funções que satisfazem a
equação funcional anterior ou se no máximo podemos afirmar que 4a é um
período (comum a todas)? Além do mais, podemos afirmar que todas as funções
que satisfazem f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possuem o mesmo período
fundamental??? Lembremos que a manipulação algébrica somente garante que 4a
é UM período...


Ainda pensando no assunto,
Marcelo Rufino de Oliveira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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