[obm-l] Re: [obm-l] Qual O per�odo de uma fun��o?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Jan 26, 2004 at 09:24:51PM +0000, M�rcio Pinheiro wrote:
> Uma de minhas v�rias d�vidas refere-se � seguinte pegunta: qual o per�odo de 
> determinada fun��o, n�o necessariamente dada por uma lei de forma��o 
> expl�cita, que possui determinada propriedade?
> Um exemplo cl�ssico � em rela��o a uma fun��o real f para a qual vale a 
> propriedade:
> f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1, 
> sendo a um real n�o nulo.

Acho que a �nica coisa que falta � exibir uma f satisfazendo esta
condi��o e para a qual 4a seja per�odo fundamental.
O que n�o � muito dif�cil: tome b um n�mero real e defina

f(x) = b para todo x no intervalo [0,a),
     = (1+b)/(1-b) para x no intervalo [a,2a),

e assim por diante. Para quase todo b o per�odo fundamental
ser� 4a. Ou, se voc� estiver interessado em uma fun��o mais bonitinha,
tome f(x) = tan((4*x)/(a*pi)). A f�rmula para f segue da f�rmula
para tan(u+v).

> Assim, n�o consigo vislumbrar uma maneira eficiente que determine, de fato, 
> o per�odo fundamental de uma fun��o n�o dada explicitamente . O exemplo 
> inicial � um dentre v�rios famosos. Outro cl�ssico consiste em determinar o 
> per�odo (fundamental) de todas as fun��es f que cumprem a equa��o 
> f(x+4)+f(x-4)=f(x).

De novo, voc� pode montar um exemplo de per�odo 24 na for�a bruta
definindo arbitrariamente f no intervalo [-4,4) e usando a f�rmula
para continuar: s� para escolhas muito especiais voc� ter� algo
de per�odo menor.

Ou voc� pode tomar f(x) = cos(pi*x/12).

> P.S.: Ao Nicolau, ainda estou providenciando o original da quest�o da prova 
> da minha �ltima mensagem (UFPA). Em tempo, a nota��o utilizada nas 
> alternativas da prova n�o era A(300;3), mas a "cl�ssica" em que os n�meros 
> est�o indexados e separados por v�rgula.

Huh? Voc� acha que fazer estes n�meros virarem um subscrito faz isso
virar uma nota��o cl�ssica? Para mim n�o. Para mim uma � t�o pouco cl�ssica
quanto a outra e eu mantenho o que eu falei na outra mensagem, estejam
o 300 e o 3 acima, abaixo, de um lado ou do outro.

[]s, N.
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================