[obm-l] Re: [obm-l] Qual O período de uma função?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Jan 26, 2004 at 09:24:51PM +0000, Márcio Pinheiro wrote:
> Uma de minhas várias dúvidas refere-se à seguinte pegunta: qual o período de 
> determinada função, não necessariamente dada por uma lei de formação 
> explícita, que possui determinada propriedade?
> Um exemplo clássico é em relação a uma função real f para a qual vale a 
> propriedade:
> f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1, 
> sendo a um real não nulo.

Acho que a única coisa que falta é exibir uma f satisfazendo esta
condição e para a qual 4a seja período fundamental.
O que não é muito difícil: tome b um número real e defina

f(x) = b para todo x no intervalo [0,a),
     = (1+b)/(1-b) para x no intervalo [a,2a),

e assim por diante. Para quase todo b o período fundamental
será 4a. Ou, se você estiver interessado em uma função mais bonitinha,
tome f(x) = tan((4*x)/(a*pi)). A fórmula para f segue da fórmula
para tan(u+v).

> Assim, não consigo vislumbrar uma maneira eficiente que determine, de fato, 
> o período fundamental de uma função não dada explicitamente . O exemplo 
> inicial é um dentre vários famosos. Outro clássico consiste em determinar o 
> período (fundamental) de todas as funções f que cumprem a equação 
> f(x+4)+f(x-4)=f(x).

De novo, você pode montar um exemplo de período 24 na força bruta
definindo arbitrariamente f no intervalo [-4,4) e usando a fórmula
para continuar: só para escolhas muito especiais você terá algo
de período menor.

Ou você pode tomar f(x) = cos(pi*x/12).

> P.S.: Ao Nicolau, ainda estou providenciando o original da questão da prova 
> da minha última mensagem (UFPA). Em tempo, a notação utilizada nas 
> alternativas da prova não era A(300;3), mas a "clássica" em que os números 
> estão indexados e separados por vírgula.

Huh? Você acha que fazer estes números virarem um subscrito faz isso
virar uma notação clássica? Para mim não. Para mim uma é tão pouco clássica
quanto a outra e eu mantenho o que eu falei na outra mensagem, estejam
o 300 e o 3 acima, abaixo, de um lado ou do outro.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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