[obm-l] Qual O período de uma função?

[Márcio Pinheiro <profmarpin@xxxxxxxxxxx>]

Uma de minhas várias dúvidas refere-se à seguinte pegunta: qual o período de 
determinada função, não necessariamente dada por uma lei de formação 
explícita, que possui determinada propriedade?
Um exemplo clássico é em relação a uma função real f para a qual vale a 
propriedade:
f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1, 
sendo a um real não nulo.
Manipulações simples permitem concluir que f(x+4a) = f(x), para todo x do 
domínio de f (basta, a princípio, substituir x por x+a, obtendo 
f(x+2a)=-1/f(x); em seguida, nessa última relação, pôr x+2a no lugar de x e 
concluir o desejado).
Desse modo, pode-se CORRETAMENTE afirmar que 4a é UM período de f. Minha 
dúvida é: qual é O período (fundamental ou principal) de f? Como garantir 
que é 4a?
Para quem não lembra, a definição (pelo menos a que eu já vi em vários 
livros) de função periódica é:
"Uma função f de A em B é periódica quando existe um número real T>0, tal 
que f(x+T)=f(x), para todo x de A". E só, de um modo geral. Em certas 
situações, já vi a definição de período fundamental, To, de uma função como 
sendo o MENOR T, ainda positivo, que cumpre as condições da definição.
Funções como as tradicionais trigonométricas elementares (seno, co-seno, 
tangente, etc.) têm período fundamental 2pi (seno, co-seno, secante ou 
co-secante) ou pi (tangente ou co-tangente). Entretanto, de acordo com a 
definição precedente, entretanto, pode-se afirmar que 4pi, 6pi, 24pi, por 
exemplo, também são períodos (não fundamentais) de tais funções.
Na verdade, o exposto faz parte de um teorema mais geral, que se prova 
facilmente por indução:
(TEOREMA 1) Se T é um período de uma função f, então KT, com K inteiro 
positivo, também o é.
Pesquisando sobre temas "periódicos", chegam-se a alguns resultados 
interessantes (e até surpreendentes, para mim), como os seguintes:
a) Toda função constante é periódica. O período pode ser QUALQUER real 
positivo, mas, em compensação, não há período fundamental, uma vez que o 
conjunto ]0,+oo[ não tem elemento mínimo. Tal fato é corolário da definição 
adotada.
b) (TEOREMA 2) Se uma função f admite um período fundamental To e se k.To é 
período de f, então k é, necessariamente, inteiro. Este teorema, que eu 
desconhecia, surgiu "intuitivamente" durante uma aula ano passado e foi 
demonstrado (em alguns nanosegundos!?) pelo meu colega, professor Marcelo 
Rufino, também membro ilustre desta lista. Tal demonstração utiliza o 
teorema 1 e é feita por absurdo. Se k não fosse inteiro, então [k].To (em 
que [k] denota a parte inteira de k) seria um período, pelo teorema 1. Mas, 
então, para qualquer x, f(x)=f(x-[k].To)=f(x-[k].To+k.To)=
f(x+(k-[k]).To), o que é um absurdo, uma vez que (k-[k]).To seria um período 
MENOR que To, o que é um absurdo.
Assim, não consigo vislumbrar uma maneira eficiente que determine, de fato, 
o período fundamental de uma função não dada explicitamente . O exemplo 
inicial é um dentre vários famosos. Outro clássico consiste em determinar o 
período (fundamental) de todas as funções f que cumprem a equação 
f(x+4)+f(x-4)=f(x). Como livrar-me de tais impasses. Há algum erro? Ou, com 
efeito, é impossível determinar o período fundamental em questões como 
essas?
Previamente obrigado,
Márcio Pinheiro.
P.S.: Ao Nicolau, ainda estou providenciando o original da questão da prova 
da minha última mensagem (UFPA). Em tempo, a notação utilizada nas 
alternativas da prova não era A(300;3), mas a "clássica" em que os números 
estão indexados e separados por vírgula.

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