Re: [obm-l] congruências

[Luiz Ponce <lponce@xxxxxxxxxxxx>]

Title:

Caro amigo Jefferson,
Vai uma humilde sugestão .
Da definição de " congruência mod m"
, tem-se que:
 n^5  é congruente a  n ( mod 15) se, e somente se,  n^5 -  n é divisivel
por 15.

Por outro lado, para todo n natural

n^5 -  n  = n (n^ 4 - 1) = n ( n ^2 - 1 ) (n^2 + 1)                     
     [ 1 ]  
                                    
n ^2 +  1 = (n ^2 - 4) + 5   = (n  - 2 )(n + 2) + 5                      
    [ 2 ]

De  [ 1 ] e [ 2 ] resulta
n^5 -  n = n ( n ^2 - 1 )(n  - 2 )(n + 2) + 5. n ( n ^2 - 1 )
ou melhor ainda
n^5 -  n = (n  - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) + 5. (n-1)n(n+1) 
Assim,  n^5 -  n = A + 5.B,   onde 
A = (n  - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2)      ( produto de cinco inteiros consecutivos) 
      
B = (n-1)n(n+1)                             ( produto de tres inteiros consecutivos)

Lembrando que o produto de n (n>1) inteiros consecutivos é sempre divisivel
por n ! ( n  fatorial), tem- se que :
A é divisivel por:   5 !, ou seja   120  enquanto  5.B é divisivel por 5.
3! , ou seja, 30

Agora, como o MDC ( 120, 30) = 30,  conclui-se  que A + 5B   é divisivel
por 30 . 

Portanto, sendo  30 = 15. 2 , podemos afirmar que  n^5 -  n é divisivel por 
15,
 isto é,  n^5  é congruente a  n ( mod 15), o que finaliza a demonstração.

PONCE
Nota: Da demonstração acima, resulta  que :n^5  é congruente a  n ( mod 30).



Jefferson Franca escreveu:

Será q alguém poderia dar uma mão com a questão:Prove q para um natural n , tem-se que n^5 congruente n ( mod 15)

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