Caro amigo Luíz, humilde não tem nada, a sua solução é ANIMAL, valeu !
Luiz Ponce <lponce@terra.com.br> wrote:
Caro amigo Jefferson,
Vai uma humilde sugestão .
Da definição de " congruência mod m" , tem-se que:
n^5 é congruente a n ( mod 15) se, e somente se, n^5 - n é
divisivel por 15.
Por outro lado, para todo n natural
n^5 - n = n (n^ 4 - 1) = n ( n ^2 - 1 ) (n^2 + 1)
[ 1 ]
n ^2 + 1 = (n ^2 - 4) + 5 = (n - 2 )(n + 2) + 5
[ 2 ]
De [ 1 ] e [ 2 ] resulta
n^5 - n = n ( n ^2 - 1 )(n - 2 )(n + 2) + 5. n ( n ^2 - 1 )
ou melhor ainda
n^5 - n = (n - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) + 5. (n-1)n(n+1)
Assim, n^5 - n = A + 5.B, onde
A = (n - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) ( produto de cinco inteiros
consecutivos)
B = (n-1)n(n+1) ( produto de tres inteiros
consecutivos)
Lembrando que o produto de n (n>1) inteiros consecutivos é sempre divisivel
por n ! ( n fatorial), tem- se que :
A é divisivel por: 5 !, ou seja 120 enquanto 5.B é
divisivel por
5. 3! , ou seja, 30
Agora, como o MDC ( 120, 30) = 30, conclui-se que A + 5B é divisivel
por 30 .
Portanto, sendo 30 = 15. 2 , podemos afirmar que n^5 - n é divisivel
por 15,
isto é, n^5 é congruente a n ( mod 15), o que finaliza a demonstração.
PONCE
Nota: Da demonstração acima, resulta que :n^5 é congruente a n ( mod 30).
Jefferson Franca escreveu:
> Será q alguém poderia dar uma mão com a questão:Prove q para um
> natural n , tem-se que n^5 congruente n ( mod 15)
>
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