Amifo F, observe que n(n^4 - 1) = n (n^2 - 1) (n^2 + 1) = n (n-1)(n+1)(n^2 -4+5) = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4) +(n-1)n(n+1)5 =(n-1)n(n+1)(n-2)(n+2) +5(n-1)n(n+1), entendeu?
Faelccmm@aol.com wrote:
Para o proprio Ponce ou alguem que saiba. Nao entendi uma passagem.
Por que o 5 estah sendo multiplicado por n( n ^2 - 1 ) ? Pois o 5 da segunda equacao [2] nao estah ?
Em uma mensagem de 30/12/2003 00:20:00 Hor. de ver�o leste da Am. Su, lponce@terra.com.br escreveu:
Caro amigo Jefferson,
Vai uma humilde sugest�o .
Da defini��o de " congru�ncia mod m" , tem-se que:
n^5 � congruente a n ( mod 15) se, e somente se, n^5 - n � divisivel por 15.
Por outro lado, para todo n natural
n^5 - n = n (n^ 4 - 1) = n ( n ^2 - 1 ) (n^2 + 1) [ 1 ]
n ^2 + 1 = (n ^2 - 4) + 5 = (n - 2 )(n + 2) + 5 [ 2 ]
De [ 1 ] e [ 2 ] resulta
n^5 - n = n ( n ^2 - 1 )(n - 2 )(n + 2) + 5. n ( n ^2 - 1 )
ou melhor ainda
n^5 - n = (n - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) + 5. (n-1)n(n+1)
Assim, n^5 - n = A + 5.B, onde
A = (n - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) ( produto de cinco inteiros consecutivos)
B = (n-1)n(n+1) ( produto de tres inteiros consecutivos)
Lembrando que o produto de n (n>1) inteiros consecutivos � sempre divisivel
por n ! ( n fatorial), tem- se que :
A � divisivel por: 5 !, ou seja 120 enquanto 5.B � divisivel por 5. 3! , ou seja, 30
Agora, como o MDC ( 120, 30) = 30, conclui-se que A + 5B
� divisivel por 30 .
Portanto, sendo 30 = 15. 2 , podemos afirmar que n^5 - n � divisivel por 15,
isto �, n^5 � congruente a n ( mod 15), o que finaliza a demonstra��o.
PONCE
Nota: Da demonstra��o acima, resulta que :n^5 � congruente a n ( mod 30).
Jefferson Franca escreveu:
Ser� q algu�m poderia dar uma m�o com a quest�o:Prove q para um natural n , tem-se que n^5 congruente n ( mod 15)
