Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,


Peco desculpas a todos por demorara a responder.

O correto seria eu parar e pensar na questao com seriedade, para entao 
apresentar uma demonstracao formal ou me convencer que estou enganado, mas 
no momento nao da pra mim fazer isso. O que fundamenta a minha intuicao e o 
seguinte :

Como An = (1/N)*[ ( 2+sen(N) )/3]^N = 1/( N^r(N) ) e sendo claro que  An < 
1/N e igualmente claro que R(N) > 1. Mas e igualmente claro que tomando um 
intervalo BEM PEQUENO em (-1,1) os sucessivos sen(N) que caem nele, por 
estarem muito proximo, AFETAM MUITO POUCO a parcela  sen(N) de :

[ ( 2+sen(N) )/3]^N

Assim, para um intervalo de (-1,1) BEM PEQUENO, se N1 e N2 sao dois indices 
consecutivos de
Xn=sen(N) que cai no intervalo :

(1/N1)*[ ( 2+sen(N1) )/3]^N1 > (1/N2)*[ ( 2+sen(N2) )/3]^N2  => 1/[N1^r(N1)] 
 > 1/[N2^r(N2)]

Evidentemente que isso vale para quaisquer dois termos consecutivos da 
subsequencia que cai no intervalo, isto :

1/[N1^r(N1)] > 1/[N2^r(N2)]  > 1/[N3^r(N3)] >  ...

Ou seja, a sub-sequencia e monotona decrescente. Observe que os r(N i) nao 
sao so MAIORES QUE UM eles  podem ser MUITO MAIORES QUE UM ... se Ni > 3 
entao 1/Ni < ( 2+sen(N1) )/3 dai :

1/[ N1^( r(N1)+1 ) ] < (1/N1)*[ ( 2+sen(N1) )/3 ]=1/( N1^r(N1) ) => r(N1) < 
N1 + 1
como N2 > N1 entao 1/[ N2^( r(N1)+1 ) ] < 1/[ N1^( r(N1)+1 ) ], podendo 
r(N2) < N2 + 1

Evidentemente que os r(Ni) crescem na medida que o pequeno subintervalo se 
aproxima do extremo
-1 do intervalo (-1,1). Ocorre que o subintervalo e "bem pequeno", isto e, 
Ni+1 >> Ni, isto e, os fatores a mais que N1 ( N2 - N1 ) em :

(1/N2)*[ ( 2+sen(N2) )/3]^N2 =(1/N2)*{ [ ( 2+sen(N2) )/3]^N1 }*{ [ ( 
2+sen(N2) )/3]^(N2-N1) }=
(1/N1)*{ [ ( 2+sen(N2) )/3]^N1 }*(N1/N2)*{ [ ( 2+sen(N2) )/3]^(N2-N1) }

isto e : fatores excedentes ... (N1/N2)*{ [ ( 2+sen(N2) )/3]^(N2-N1) } sao 
tais que :

1/[ N2^r(N2) ] < 1/[ N2^( r(N1)+1 ) ] < 1/[ N1^( r(N1)+1 ) ] < 1/( N1^r(N1) 
)
r(N2) >  r(N1) + 1  >  r(N1)   =>   r(N1) < r(N2)

O que acho intuitivo ( mas que precisa ser provado ) e que sendo o intervalo 
"bem pequeno" e devidamente ajustado, o proximo Ni+1 apos o Ni e "muito 
maior" que o Ni, o excesso obrigando
r(Ni) < r(Ni+1)

Evidentemente que isto nao e uma prova, apenas o fruto de uma analise rapida 
derivada da intuicao e que reforca a minha crenca na convergencia. Eu 
deveria aqui prova algo assim ...

se N2 > N1 e  modulo(N1-N2) < E, E positivo e suficientemente pequeno, entao 
N2 > N1 + i, para algum i natural. Dai mostra que o excesso que falei 
(N2-N1>i) cumpre de fato o que a minha intuicao esta me dizendo, isto e, que 
r(N1) < r(N2).

Se for assim, entao para cada intervalo teremos uma serie :

1/[N1^r(N1)] > 1/[N2^r(N2)]  > 1/[N3^r(N3)] >  ...
com r(N1) < r(N2) < r(N3) < ... e

e a serie evidentemente converge. E portanto a serie toda converge.

Bom, eu acho que detalhei bem o que vi numa primeira olhada. Mas estou sem 
tempo para pensar seriamente na questao. Todavia, considero praticamente 
certo que outro membro que pense seriamente sobre a questao vai achar um 
caminho sem maiores dificuldades ( engracado, neste exato momento que estou 
escrevendo estas linhas me ocorreu outra ideia. )

O problema e legal e de qualidade, como tudo que vem do Duda. Ele nao se 
dobrou diante de nenhuma investida trivial, tais como os teste de banais de 
convergencia e os teoremas que se aprende num bom curso de analise. Esta 
assim em consonancia com a proposta original desta desta nossa lista, que e 
discutir problemas olimpicos e praticar a verdadeira Matematica, alta e 
bela.

Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
1,2126,261003

>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
>Date: Fri, 24 Oct 2003 13:45:18 -0200
>MIME-Version: 1.0
>Received: from mc5-f16.hotmail.com ([65.54.252.23]) by mc5-s3.hotmail.com 
>with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Fri, 24 Oct 2003 08:50:24 -0700
>Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f16.hotmail.com 
>with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Fri, 24 Oct 2003 08:45:19 -0700
>Received: (from majordom@localhost)by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) 
>id NAA08038for obm-l-MTTP; Fri, 24 Oct 2003 13:43:02 -0200
>Received: from ivoti.terra.com.br (ivoti.terra.com.br [200.176.3.20])by 
>sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id MAA08034for 
><obm-l@mat.puc-rio.br>; Fri, 24 Oct 2003 12:43:01 -0300
>Received: from marova.terra.com.br (marova.terra.com.br [200.176.3.39])by 
>ivoti.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 9962D79C1F0for 
><obm-l@mat.puc-rio.br>; Fri, 24 Oct 2003 13:42:30 -0200 (BRST)
>Received: from [200.182.232.19] (23219.virtua.com.br 
>[200.182.232.19])(authenticated user claudio.buffara)by marova.terra.com.br 
>(Postfix) with ESMTP id B61563DC12Afor <obm-l@mat.puc-rio.br>; Fri, 24 Oct 
>2003 13:42:29 -0200 (BRST)
>X-Message-Info: vGzX0e+ktu63y9sk04jGZSfa9j6I2+MIsty5ondVrzI=
>User-Agent: Microsoft-Outlook-Express-Macintosh-Edition/5.02.2022
>Message-ID: <BBBEDD6E.1FF4%claudio.buffara@terra.com.br>
>In-Reply-To: <Sea2-F31FapNuT1FM1J0001d977@hotmail.com>
>X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by 
>sucuri.mat.puc-rio.br id MAA08035
>Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>Precedence: bulk
>Return-Path: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>X-OriginalArrivalTime: 24 Oct 2003 15:45:20.0895 (UTC) 
>FILETIME=[D4BAF8F0:01C39A45]
>
>Oi, Paulo:
>
>Por favor, veja meus comentarios abaixo.
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>on 24.10.03 10:40, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:
>
> > Oi Claudio,
> >
> > Gostaria de poder participar com mais tranquilidade, como fazia antes, 
>mas
> > podes crer que o meu dia precisaria ter cerca 48 horas para que eu 
>pudesse
> > atender bem tantas coisas ...
> >
> > Eu continuo achando que e evidente que a serie converge devido as
> > particularidades Xn = sen(N) e considero que o que eu vejo e muito
> > semelhante a convergencia uniforme que se usa, dentre outros lugares, na
> > Analise de Fourier. Vou tentar falar um pouco mais sobre isso.
> >
> > Nos sabemos que os r(N) sao definidos pela equacao :
> >
> > (1/N)*{ [ (2 + sen(N) / 3 ]^N } = 1/( N^r(N) )    =>    r(N) > 1 para 
>todo N
> >
> > A serie : 1 + 1/( 2^r(2) ) + ... + 1/( N^r(N) ) + ... evidentemente que
> > converge pois r(N) > 1 e tomando r=MIN { r(1), r(2), ... } claramente 
>que
> > 1/N^r converge e 1/N^r >= 1/N^r(N). Tudo isso parace com a convergencia
> > uniforme ( devido a particularidade de Xn = sen(N) )
> >
>O problema que eu vejo eh justamente esse: o conjunto {r(1),r(2),...}
>oriundo da serie SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n nao tem um elemento
>minimo. Todos os seus elementos sao de fato maiores que 1 e acho que uma
>analise semelhante a que o Salvador e o Gugu fizeram com relacao a
>(sen(n))^n (vide mensagens respectivas enviadas ontem) mostra que limsup
>((2+sen(n)/3)^n = 1, o que implica que o infimo do conjunto dos r(n) eh 1.
>Soh que isso nao garante a convergencia da serie. Mais uma vez cito o meu
>exemplo onde r(n) = 1 + ln(ln(n))/ln(n) para n >= 3. Todos os r(n) sao
>maiores que 1, o infimo deles eh 1 e a serie SOMA(n>=3) 1/n^r(n) diverge.
>
> > Eu deveria ter detalhado mais aqui para que meu raciocinio ficasse mais
> > claro ...
> >
> > Seja r um real em (-1,1). Tome um E (epsilon) suficientemente pequeno. 
>Entao
> > (r-E,r+E) sera suficientemente pequeno e claramente ainda teremos
> > I=(r-E,r+E) contido em (-1,1). Pois bem :
> > Se o natural N1 e tal que sen(N1) esta em I entao o proximo natural N2 ( 
>da
> > sequencia Xn=sen(N) ) que cair em I sera tal que :
> >
> > 1 < r(N1) < r(N2)
> >
>Nao entendi o porque de r(N1) < r(N2).
>
>E o que fazer no caso em que I = (1-E,1), ou seja, na subsequencia de
>(1/n)*((2+sen(n))/3)^n que converge pra 1? Serah que os seus termos sao tao
>espacados que a serie restrita a essa subsequencia converge? Isso pra mim
>nao eh claro.
>
> > reiterando, teriamos : r(N1) < r(N2) < ... < r(Ni) < ou seja, a 
>subsequencia
> > que cai dentro de I e linitada superiomente por 1/( N1 ^r(N1) ). Como
> > claramente somatorio de 1/N^r(N1) converge entao
> > evidentemente a serie correspondente converge.
> >
> > O QUE ME PARECE EVIDENTE e que e possivel decompor (-1,1) numa 
>quantidade
> > finita de intervalos suficientemente pequenos de forma que todos os 
>termos
> > da serie que caem dentro de um intervalo especifico da decomposicao vao
> > atender o detalhe que expliquei acima. Como todas as series vao 
>convergir e
> > sao em numero finito ( pois os intervalos sao em numero finito ) entao 
>toda
> > a serie vai convergir...
> >
> > Assim, a convergencia me pareceu evidente por causa desta evidente
> > particularidade de Xn = sen(N)
> >
> > Observe que poderemos usar UM MESMO E( epsilon ) suficientemente pequeno
> > para todos os intervalos e, por esta razao, eu achei uma certa 
>semelhanca
> > com a convergencia uniforme. Por isso eu disse : vejo uma semelhanca com 
>a
> > convergencia uniforme usada em analise de fourier.
> >
> > Se a minha sensibilidade estiver errada, e no pressuposto expresso neste
> > ultimo paragrafo. Mas eu nao sinto isso ...
> >
> > Esta a ideia que me ocorreu numa analise rapida. E claramente necessario
> > provar alguns passos elementares para transformar a ideia numa 
>demonstracao,
> > mas voce vai concordar comigo que visualizar estas coisas e muito facil.
> >
> > Um Abraco a Todos
> > Um abraco especial ao Duda e ao Claudio
> > Paulo Santa Rita
> > 6,1040,241003
> >
> >> From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
> >> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
> >> Date: Thu, 23 Oct 2003 20:02:02 -0200
> >> MIME-Version: 1.0
> >> Received: from mc5-f27.hotmail.com ([65.54.252.34]) by 
>mc5-s2.hotmail.com
> >> with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 15:42:03 -0700
> >> Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by 
>mc5-f27.hotmail.com
> >> with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 15:03:16 -0700
> >> Received: (from majordom@localhost)by sucuri.mat.puc-rio.br 
>(8.9.3/8.9.3)
> >> id TAA32527for obm-l-MTTP; Thu, 23 Oct 2003 19:59:47 -0200
> >> Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18])by
> >> sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA32523for
> >> <obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct 2003 18:59:46 -0300
> >> Received: from araci.terra.com.br (araci.terra.com.br [200.176.3.44])by
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> >> <obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct 2003 19:59:16 -0200 (BRST)
> >> Received: from [200.182.232.19] (23219.virtua.com.br
> >> [200.182.232.19])(authenticated user claudio.buffara)by 
>araci.terra.com.br
> >> (Postfix) with ESMTP id 22E4921EF4Dfor <obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 
>Oct
> >> 2003 19:59:12 -0200 (BRST)
> >> X-Message-Info: vGzX0e+ktu4erC0zmrqvkg59w/93sa7bES3uBHMVtSI=
> >> User-Agent: Microsoft-Outlook-Express-Macintosh-Edition/5.02.2022
> >> Message-ID: <BBBDE43A.1FB4%claudio.buffara@terra.com.br>
> >> In-Reply-To: <Sea2-F59YiI2uKxeSuP00045cbb@hotmail.com>
> >> X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by
> >> sucuri.mat.puc-rio.br id SAA32524
> >> Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
> >> Precedence: bulk
> >> Return-Path: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
> >> X-OriginalArrivalTime: 23 Oct 2003 22:03:17.0991 (UTC)
> >> FILETIME=[76EB7770:01C399B1]
> >>
> >> Oi, Paulo:
> >>
> >> Mesmo assim eu nao estou convencido. O que esse r(n) (relativo a 
>equacao do
> >> Duda) tem de especial que faz a serie convergir? O meu exemplo anterior
> >> mostra que o simples fato de termos r(n) > 1 para todo n nao eh 
>suficiente.
> >>
> >> Tudo bem. Concordo que -1 < sen(n) < 1 implica 1/3 < (2+sen(n))/3 < 1 e
> >> que,
> >> portanto, o n-esimo termo da serie eh menor do que 1/n, mas dai a 
>concluir
> >> que ela eh convergente...
> >>
> >> Mas talvez eu tenha entendido mal: a que particularidade de sen(n) voce 
>se
> >> refere?
> >>
> >> Uma duvida mais basica: A sequencia x(n) = ((2+sen(n))/3)^n converge?
> >>
> >> Um abraco,
> >> Claudio.
> >>
> >>
> >> on 23.10.03 16:08, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:
> >>
> >>> Oi Claudio,
> >>>
> >>> Infelizmente, sua observacao nao e consistente.
> >>>
> >>> Voce se ateve a uma frase ( que destacou pra refutar ) e nao ao corpo 
>da
> >>> mensagem. Esta claro, devido a tudo que escrevi, que eu me refiri aos
> >> r(N)
> >>> que resultam da equacao ( perdao se nao fui suficientemente claro ! ) 
>:
> >>>
> >>> (1/N)*[ (2+sen(N) / 3)]^N = 1/[ N^r(N) ] , r(N)  > 1 para qualquer N 
> >=
> >> 1. A
> >>> sequencia Xn=sen(N) varia entre -1 e 1, isto e, -1 < sen(N) < 1.
> >>>
> >>> NESTE CASO, volto a afirmar : a serie converge DEVIDO A 
>PARTICULARIDADE
> >> DO
> >>> sen(N) que estou destacando nesta mensagem. E necessario desenvolver
> >> mais
> >>> este ponto ...
> >>>
> >>> Um abraco a todos
> >>> Paulo Santa Rita
> >>> 5,1609,231003
> >>>
> >>>> From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> >>>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>>> Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
> >>>> Date: Thu, 23 Oct 2003 15:29:02 -0200
> >>>>
> >>>>>
> >>>>> S = somatorio(1 ate +INF) de i^[ - r(i) ] , r( i ) > 1, converge ?
> >> Para
> >>>> mim,
> >>>>> e evidente que sim.
> >>>>
> >>>> Oi, Paulo:
> >>>>
> >>>> Infelizmente isso não é verdade.
> >>>> Por exemplo, para cada n >= 3, tome r(n) = 1 + ln(ln(n))/ln(n) > 1.
> >>>> Isso resulta em n^r(n) = n*ln(n) ==>
> >>>> SOMA(n>=3) n^(-r(n)) =  SOMA(n >=3) 1/(n*ln(n)), que diverge, pelo
> >> teste da
> >>>> integral.
> >>>>
> >>>> *****
> >>>>
> >>>> O problema do Duda parece ser bem mais complicado.
> >>>> Por exemplo, um bom começo seria determinar se a sequência x(n) =
> >> sen(n)^n
> >>>> é
> >>>> convergente ou não.
> >>>>
> >>>> Um abraço,
> >>>> Claudio.
> >>>>
> >>>>
> >>>>
> >>
> >> 
>=========================================================================
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >> 
>=========================================================================
> >
> > _________________________________________________________________
> > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com
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>=========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > 
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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