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Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n

To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
From: Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>
Date: Fri, 24 Oct 2003 13:45:18 -0200
In-Reply-To: <Sea2-F31FapNuT1FM1J0001d977@hotmail.com>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
User-Agent: Microsoft-Outlook-Express-Macintosh-Edition/5.02.2022
Oi, Paulo:

Por favor, veja meus comentarios abaixo.

Um abraco,
Claudio.

on 24.10.03 10:40, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:

> Oi Claudio,
> 
> Gostaria de poder participar com mais tranquilidade, como fazia antes, mas
> podes crer que o meu dia precisaria ter cerca 48 horas para que eu pudesse
> atender bem tantas coisas ...
> 
> Eu continuo achando que e evidente que a serie converge devido as
> particularidades Xn = sen(N) e considero que o que eu vejo e muito
> semelhante a convergencia uniforme que se usa, dentre outros lugares, na
> Analise de Fourier. Vou tentar falar um pouco mais sobre isso.
> 
> Nos sabemos que os r(N) sao definidos pela equacao :
> 
> (1/N)*{ [ (2 + sen(N) / 3 ]^N } = 1/( N^r(N) )    =>    r(N) > 1 para todo N
> 
> A serie : 1 + 1/( 2^r(2) ) + ... + 1/( N^r(N) ) + ... evidentemente que
> converge pois r(N) > 1 e tomando r=MIN { r(1), r(2), ... } claramente que
> 1/N^r converge e 1/N^r >= 1/N^r(N). Tudo isso parace com a convergencia
> uniforme ( devido a particularidade de Xn = sen(N) )
> 
O problema que eu vejo eh justamente esse: o conjunto {r(1),r(2),...}
oriundo da serie SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n nao tem um elemento
minimo. Todos os seus elementos sao de fato maiores que 1 e acho que uma
analise semelhante a que o Salvador e o Gugu fizeram com relacao a
(sen(n))^n (vide mensagens respectivas enviadas ontem) mostra que limsup
((2+sen(n)/3)^n = 1, o que implica que o infimo do conjunto dos r(n) eh 1.
Soh que isso nao garante a convergencia da serie. Mais uma vez cito o meu
exemplo onde r(n) = 1 + ln(ln(n))/ln(n) para n >= 3. Todos os r(n) sao
maiores que 1, o infimo deles eh 1 e a serie SOMA(n>=3) 1/n^r(n) diverge.

> Eu deveria ter detalhado mais aqui para que meu raciocinio ficasse mais
> claro ...
> 
> Seja r um real em (-1,1). Tome um E (epsilon) suficientemente pequeno. Entao
> (r-E,r+E) sera suficientemente pequeno e claramente ainda teremos
> I=(r-E,r+E) contido em (-1,1). Pois bem :
> Se o natural N1 e tal que sen(N1) esta em I entao o proximo natural N2 ( da
> sequencia Xn=sen(N) ) que cair em I sera tal que :
> 
> 1 < r(N1) < r(N2)
>
Nao entendi o porque de r(N1) < r(N2).

E o que fazer no caso em que I = (1-E,1), ou seja, na subsequencia de
(1/n)*((2+sen(n))/3)^n que converge pra 1? Serah que os seus termos sao tao
espacados que a serie restrita a essa subsequencia converge? Isso pra mim
nao eh claro.
  
> reiterando, teriamos : r(N1) < r(N2) < ... < r(Ni) < ou seja, a subsequencia
> que cai dentro de I e linitada superiomente por 1/( N1 ^r(N1) ). Como
> claramente somatorio de 1/N^r(N1) converge entao
> evidentemente a serie correspondente converge.
> 
> O QUE ME PARECE EVIDENTE e que e possivel decompor (-1,1) numa quantidade
> finita de intervalos suficientemente pequenos de forma que todos os termos
> da serie que caem dentro de um intervalo especifico da decomposicao vao
> atender o detalhe que expliquei acima. Como todas as series vao convergir e
> sao em numero finito ( pois os intervalos sao em numero finito ) entao toda
> a serie vai convergir...
> 
> Assim, a convergencia me pareceu evidente por causa desta evidente
> particularidade de Xn = sen(N)
> 
> Observe que poderemos usar UM MESMO E( epsilon ) suficientemente pequeno
> para todos os intervalos e, por esta razao, eu achei uma certa semelhanca
> com a convergencia uniforme. Por isso eu disse : vejo uma semelhanca com a
> convergencia uniforme usada em analise de fourier.
> 
> Se a minha sensibilidade estiver errada, e no pressuposto expresso neste
> ultimo paragrafo. Mas eu nao sinto isso ...
> 
> Esta a ideia que me ocorreu numa analise rapida. E claramente necessario
> provar alguns passos elementares para transformar a ideia numa demonstracao,
> mas voce vai concordar comigo que visualizar estas coisas e muito facil.
> 
> Um Abraco a Todos
> Um abraco especial ao Duda e ao Claudio
> Paulo Santa Rita
> 6,1040,241003
> 
>> From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
>> Date: Thu, 23 Oct 2003 20:02:02 -0200
>> MIME-Version: 1.0
>> Received: from mc5-f27.hotmail.com ([65.54.252.34]) by mc5-s2.hotmail.com
>> with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 15:42:03 -0700
>> Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f27.hotmail.com
>> with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 15:03:16 -0700
>> Received: (from majordom@localhost)by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3)
>> id TAA32527for obm-l-MTTP; Thu, 23 Oct 2003 19:59:47 -0200
>> Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18])by
>> sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA32523for
>> <obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct 2003 18:59:46 -0300
>> Received: from araci.terra.com.br (araci.terra.com.br [200.176.3.44])by
>> paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 677C08480A9for
>> <obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct 2003 19:59:16 -0200 (BRST)
>> Received: from [200.182.232.19] (23219.virtua.com.br
>> [200.182.232.19])(authenticated user claudio.buffara)by araci.terra.com.br
>> (Postfix) with ESMTP id 22E4921EF4Dfor <obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct
>> 2003 19:59:12 -0200 (BRST)
>> X-Message-Info: vGzX0e+ktu4erC0zmrqvkg59w/93sa7bES3uBHMVtSI=
>> User-Agent: Microsoft-Outlook-Express-Macintosh-Edition/5.02.2022
>> Message-ID: <BBBDE43A.1FB4%claudio.buffara@terra.com.br>
>> In-Reply-To: <Sea2-F59YiI2uKxeSuP00045cbb@hotmail.com>
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>> Precedence: bulk
>> Return-Path: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>> X-OriginalArrivalTime: 23 Oct 2003 22:03:17.0991 (UTC)
>> FILETIME=[76EB7770:01C399B1]
>> 
>> Oi, Paulo:
>> 
>> Mesmo assim eu nao estou convencido. O que esse r(n) (relativo a equacao do
>> Duda) tem de especial que faz a serie convergir? O meu exemplo anterior
>> mostra que o simples fato de termos r(n) > 1 para todo n nao eh suficiente.
>> 
>> Tudo bem. Concordo que -1 < sen(n) < 1 implica 1/3 < (2+sen(n))/3 < 1 e
>> que,
>> portanto, o n-esimo termo da serie eh menor do que 1/n, mas dai a concluir
>> que ela eh convergente...
>> 
>> Mas talvez eu tenha entendido mal: a que particularidade de sen(n) voce se
>> refere?
>> 
>> Uma duvida mais basica: A sequencia x(n) = ((2+sen(n))/3)^n converge?
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> on 23.10.03 16:08, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:
>> 
>>> Oi Claudio,
>>> 
>>> Infelizmente, sua observacao nao e consistente.
>>> 
>>> Voce se ateve a uma frase ( que destacou pra refutar ) e nao ao corpo da
>>> mensagem. Esta claro, devido a tudo que escrevi, que eu me refiri aos
>> r(N)
>>> que resultam da equacao ( perdao se nao fui suficientemente claro ! ) :
>>> 
>>> (1/N)*[ (2+sen(N) / 3)]^N = 1/[ N^r(N) ] , r(N)  > 1 para qualquer N >=
>> 1. A
>>> sequencia Xn=sen(N) varia entre -1 e 1, isto e, -1 < sen(N) < 1.
>>> 
>>> NESTE CASO, volto a afirmar : a serie converge DEVIDO A PARTICULARIDADE
>> DO
>>> sen(N) que estou destacando nesta mensagem. E necessario desenvolver
>> mais
>>> este ponto ...
>>> 
>>> Um abraco a todos
>>> Paulo Santa Rita
>>> 5,1609,231003
>>> 
>>>> From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>>>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>> Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
>>>> Date: Thu, 23 Oct 2003 15:29:02 -0200
>>>> 
>>>>> 
>>>>> S = somatorio(1 ate +INF) de i^[ - r(i) ] , r( i ) > 1, converge ?
>> Para
>>>> mim,
>>>>> e evidente que sim.
>>>> 
>>>> Oi, Paulo:
>>>> 
>>>> Infelizmente isso não é verdade.
>>>> Por exemplo, para cada n >= 3, tome r(n) = 1 + ln(ln(n))/ln(n) > 1.
>>>> Isso resulta em n^r(n) = n*ln(n) ==>
>>>> SOMA(n>=3) n^(-r(n)) =  SOMA(n >=3) 1/(n*ln(n)), que diverge, pelo
>> teste da
>>>> integral.
>>>> 
>>>> *****
>>>> 
>>>> O problema do Duda parece ser bem mais complicado.
>>>> Por exemplo, um bom começo seria determinar se a sequência x(n) =
>> sen(n)^n
>>>> é
>>>> convergente ou não.
>>>> 
>>>> Um abraço,
>>>> Claudio.
>>>> 
>>>> 
>>>> 
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References:
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  - From: Paulo Santa Rita
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