Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Oi Claudio,

Gostaria de poder participar com mais tranquilidade, como fazia antes, mas 
podes crer que o meu dia precisaria ter cerca 48 horas para que eu pudesse 
atender bem tantas coisas ...

Eu continuo achando que e evidente que a serie converge devido as 
particularidades Xn = sen(N) e considero que o que eu vejo e muito 
semelhante a convergencia uniforme que se usa, dentre outros lugares, na 
Analise de Fourier. Vou tentar falar um pouco mais sobre isso.

Nos sabemos que os r(N) sao definidos pela equacao :

(1/N)*{ [ (2 + sen(N) / 3 ]^N } = 1/( N^r(N) )    =>    r(N) > 1 para todo N

A serie : 1 + 1/( 2^r(2) ) + ... + 1/( N^r(N) ) + ... evidentemente que 
converge pois r(N) > 1 e tomando r=MIN { r(1), r(2), ... } claramente que 
1/N^r converge e 1/N^r >= 1/N^r(N). Tudo isso parace com a convergencia 
uniforme ( devido a particularidade de Xn = sen(N) )

Eu deveria ter detalhado mais aqui para que meu raciocinio ficasse mais 
claro ...

Seja r um real em (-1,1). Tome um E (epsilon) suficientemente pequeno. Entao 
(r-E,r+E) sera suficientemente pequeno e claramente ainda teremos 
I=(r-E,r+E) contido em (-1,1). Pois bem :
Se o natural N1 e tal que sen(N1) esta em I entao o proximo natural N2 ( da 
sequencia Xn=sen(N) ) que cair em I sera tal que :

1 < r(N1) < r(N2)

reiterando, teriamos : r(N1) < r(N2) < ... < r(Ni) < ou seja, a subsequencia 
que cai dentro de I e linitada superiomente por 1/( N1 ^r(N1) ). Como 
claramente somatorio de 1/N^r(N1) converge entao
evidentemente a serie correspondente converge.

O QUE ME PARECE EVIDENTE e que e possivel decompor (-1,1) numa quantidade 
finita de intervalos suficientemente pequenos de forma que todos os termos 
da serie que caem dentro de um intervalo especifico da decomposicao vao 
atender o detalhe que expliquei acima. Como todas as series vao convergir e 
sao em numero finito ( pois os intervalos sao em numero finito ) entao toda 
a serie vai convergir...

Assim, a convergencia me pareceu evidente por causa desta evidente 
particularidade de Xn = sen(N)

Observe que poderemos usar UM MESMO E( epsilon ) suficientemente pequeno 
para todos os intervalos e, por esta razao, eu achei uma certa semelhanca 
com a convergencia uniforme. Por isso eu disse : vejo uma semelhanca com a 
convergencia uniforme usada em analise de fourier.

Se a minha sensibilidade estiver errada, e no pressuposto expresso neste 
ultimo paragrafo. Mas eu nao sinto isso ...

Esta a ideia que me ocorreu numa analise rapida. E claramente necessario 
provar alguns passos elementares para transformar a ideia numa demonstracao, 
mas voce vai concordar comigo que visualizar estas coisas e muito facil.

Um Abraco a Todos
Um abraco especial ao Duda e ao Claudio
Paulo Santa Rita
6,1040,241003

>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
>Date: Thu, 23 Oct 2003 20:02:02 -0200
>MIME-Version: 1.0
>Received: from mc5-f27.hotmail.com ([65.54.252.34]) by mc5-s2.hotmail.com 
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>Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f27.hotmail.com 
>with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Thu, 23 Oct 2003 15:03:16 -0700
>Received: (from majordom@localhost)by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) 
>id TAA32527for obm-l-MTTP; Thu, 23 Oct 2003 19:59:47 -0200
>Received: from paiol.terra.com.br (paiol.terra.com.br [200.176.3.18])by 
>sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA32523for 
><obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct 2003 18:59:46 -0300
>Received: from araci.terra.com.br (araci.terra.com.br [200.176.3.44])by 
>paiol.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 677C08480A9for 
><obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct 2003 19:59:16 -0200 (BRST)
>Received: from [200.182.232.19] (23219.virtua.com.br 
>[200.182.232.19])(authenticated user claudio.buffara)by araci.terra.com.br 
>(Postfix) with ESMTP id 22E4921EF4Dfor <obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct 
>2003 19:59:12 -0200 (BRST)
>X-Message-Info: vGzX0e+ktu4erC0zmrqvkg59w/93sa7bES3uBHMVtSI=
>User-Agent: Microsoft-Outlook-Express-Macintosh-Edition/5.02.2022
>Message-ID: <BBBDE43A.1FB4%claudio.buffara@terra.com.br>
>In-Reply-To: <Sea2-F59YiI2uKxeSuP00045cbb@hotmail.com>
>X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by 
>sucuri.mat.puc-rio.br id SAA32524
>Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>Precedence: bulk
>Return-Path: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>X-OriginalArrivalTime: 23 Oct 2003 22:03:17.0991 (UTC) 
>FILETIME=[76EB7770:01C399B1]
>
>Oi, Paulo:
>
>Mesmo assim eu nao estou convencido. O que esse r(n) (relativo a equacao do
>Duda) tem de especial que faz a serie convergir? O meu exemplo anterior
>mostra que o simples fato de termos r(n) > 1 para todo n nao eh suficiente.
>
>Tudo bem. Concordo que -1 < sen(n) < 1 implica 1/3 < (2+sen(n))/3 < 1 e 
>que,
>portanto, o n-esimo termo da serie eh menor do que 1/n, mas dai a concluir
>que ela eh convergente...
>
>Mas talvez eu tenha entendido mal: a que particularidade de sen(n) voce se
>refere?
>
>Uma duvida mais basica: A sequencia x(n) = ((2+sen(n))/3)^n converge?
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>
>on 23.10.03 16:08, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:
>
> > Oi Claudio,
> >
> > Infelizmente, sua observacao nao e consistente.
> >
> > Voce se ateve a uma frase ( que destacou pra refutar ) e nao ao corpo da
> > mensagem. Esta claro, devido a tudo que escrevi, que eu me refiri aos 
>r(N)
> > que resultam da equacao ( perdao se nao fui suficientemente claro ! ) :
> >
> > (1/N)*[ (2+sen(N) / 3)]^N = 1/[ N^r(N) ] , r(N)  > 1 para qualquer N >= 
>1. A
> > sequencia Xn=sen(N) varia entre -1 e 1, isto e, -1 < sen(N) < 1.
> >
> > NESTE CASO, volto a afirmar : a serie converge DEVIDO A PARTICULARIDADE 
>DO
> > sen(N) que estou destacando nesta mensagem. E necessario desenvolver 
>mais
> > este ponto ...
> >
> > Um abraco a todos
> > Paulo Santa Rita
> > 5,1609,231003
> >
> >> From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> >> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
> >> Date: Thu, 23 Oct 2003 15:29:02 -0200
> >>
> >>>
> >>> S = somatorio(1 ate +INF) de i^[ - r(i) ] , r( i ) > 1, converge ? 
>Para
> >> mim,
> >>> e evidente que sim.
> >>
> >> Oi, Paulo:
> >>
> >> Infelizmente isso não é verdade.
> >> Por exemplo, para cada n >= 3, tome r(n) = 1 + ln(ln(n))/ln(n) > 1.
> >> Isso resulta em n^r(n) = n*ln(n) ==>
> >> SOMA(n>=3) n^(-r(n)) =  SOMA(n >=3) 1/(n*ln(n)), que diverge, pelo 
>teste da
> >> integral.
> >>
> >> *****
> >>
> >> O problema do Duda parece ser bem mais complicado.
> >> Por exemplo, um bom começo seria determinar se a sequência x(n) = 
>sen(n)^n
> >> é
> >> convergente ou não.
> >>
> >> Um abraço,
> >> Claudio.
> >>
> >>
> >>
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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