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Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>
Date: Thu, 23 Oct 2003 12:48:15 +0000
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Oi Duda, Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Quando o Duda colocou a questao, a nossa lista estava sendo agredida por 
maluco qualquer e pensei que ele, corretamente,  desejando reafirmar a 
inegavel qualidade de nossas discussoes e colocar o maluco onde deveria 
ficar, isto e, no ostracismo, apresentava um daqueles exemplos em que e 
impossivel concluir sobre a convergencia usando os testes convencionais 
diretos mais conhecidos, tais como o teste da razao e da raiz.

Eu mesmo procedi assim, resolvendo algumas questoes elementares sobre grupos 
que algum membro havia proposto. Sem pensar muito, vou dizer o que vejo. Os 
colegas, por favor, corrijam os erros e completem as lacunas

Numa primeira analise, claramente que para qualquer N temos que 1/3 < [( 2 + 
sen(N) )/3] < 1 e dai segue que [ ( 2 + sen(N) )/3 ]^N < 1    =>  (1/N)*[ ( 
2 + sen(N) )/3 ]^N < 1/N, isto e, para todo natural N positivo  existe um 
real r(N) > 1 tal que :

(1/N)*[ ( 2 + sen(N) )/3 ]^N = 1 / ( N^r(N) )

Agora :

S = somatorio(1 ate +INF) de i^[ - r(i) ] , r( i ) > 1, converge ? Para mim, 
e evidente que sim, e eu ficaria satisfeito em chegar aqui, pois, para N 
suficientemente grande, tomando r=MIN{ r(1), ...,r(N) }, teriamos r > 1 e a 
serie de termo geral 1/N^r converge, alem de que 1/N^r >= 1/[ N^r(N) ]. Mas 
claramente e possivel colocar mais rigor aqui ...

Finalmente, observo aqui uma semelhanca com as series de Fourier, na qual 
para tratarmos de continuidade e diferenciabilidade de serie de funcoes, 
precisamos considerar o conceito de convergencia uniforme para dar maior 
rigor as nossas conclusoes ...

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,1040,231003

>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n Date: Thu, 23 Oct 2003 
>08:13:02 -0200
>MIME-Version: 1.0
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>Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc3-f29.hotmail.com 
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>Received: (from majordom@localhost)by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) 
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>sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id HAA07408for 
><obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct 2003 07:10:43 -0300
>Received: from bertioga.terra.com.br (bertioga.terra.com.br 
>[200.176.3.77])by ivoti.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id B345479C43Efor 
><obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct 2003 08:10:12 -0200 (BRST)
>Received: from [200.182.232.19] (23219.virtua.com.br 
>[200.182.232.19])(authenticated user claudio.buffara)by 
>bertioga.terra.com.br (Postfix) with ESMTP id 3B0743F80CBfor 
><obm-l@mat.puc-rio.br>; Thu, 23 Oct 2003 08:10:12 -0200 (BRST)
>X-Message-Info: vGzX0e+ktu4YML//s4F92ccRUO8Jol1Nf5SIT2lHQYk=
>User-Agent: Microsoft-Outlook-Express-Macintosh-Edition/5.02.2022
>Message-ID: <BBBD3E0E.1FA0%claudio.buffara@terra.com.br>
>In-Reply-To: <00d401c39911$643a9340$0301a8c0@stabel>
>X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by 
>sucuri.mat.puc-rio.br id HAA07410
>Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>Precedence: bulk
>Return-Path: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>X-OriginalArrivalTime: 23 Oct 2003 10:11:53.0677 (UTC) 
>FILETIME=[151607D0:01C3994E]
>
>Bom, por um lado eh verdade que 1/3 < (2+sen(n))/3 < 1, para todo n natural
>e que, portanto, o termo geral tende a zero.
>
>Alem disso, a primeira vista, o n-esimo termo seria majorado por algo da
>forma a^n/n, com 1/3 < a < 1, o que implicaria em convergencia. Soh que 
>isso
>nao eh verdade. Aquela nossa discussao sobre densidade e equidistribuicao
>mostrou que a sequencia cujo termo geral eh (2+sen(n))/3 tem uma
>subsequencia convergindo pra 1 (apesar de (2+sen(n))/3 nao ser UD em 
>[1/2,1]
>- acho que o Gugu mandou uma mensagem mostrando isso ou algo muito 
>similar).
>Isso significa que nao existe a em (1/3,1) tal que a majoracao mencionada
>acima ocorre para todo n.
>
>Claro, o problema estah no expoente n (sem ele, cada termo teria 1/(3n) 
>como
>cota inferior e a serie seria divergente por comparacao com a serie
>harmonica).
>
>A serie SOMA(n>=1) ((2+sen(n))/3)^n tambem me parece problematica, pois nao
>pode ser majorada por nenhuma serie geometrica com razao < 1. Nesse caso,
>nao tenho nem certeza sobre se o termo geral tende a zero.
>
>Talvez seja interessante considerar a serie SOMA(n>=1) x(n)^n, onde x(n) eh
>uma sequencia UD em [0,1]. Uma duvida que eu tenho eh se o expoente n puxa
>os termos da serie pra baixo o suficiente pra que ele convirja. Serah que,
>pelo menos, lim x(n)^n = 0 ?
>
>Espero que alguem com mais conhecimentos entre na discussao e tire essas
>duvidas.
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>on 23.10.03 00:57, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:
>
> > Oi Cláudio!
> >
> > Não sei a resposta. Eu deveria ter dito mais sobre o problema quando fiz 
>a
> > pergunta. Pelo que ouvi dizer, este é um problema que um professor 
>copiou
> > mal de um livro e propôs a seus alunos. (o problema original era 
>trivial)
> > Ele tentou e não conseguiu resolver o problema. O problema já passou por
> > muita gente, segundo me contaram até numa das edições da revista AMM, e
> > ainda não encontraram a solução.
> >
> > A mim, parece que a série converge. Eu propus na lista por que sei que 
>você,
> > e outros, iriam se interessar, já que ela parece ter tudo a ver com a
> > questão de seqüências equidistribuídas.
> >
> > Ele não me parece tão difícil, o que você acha?
> >
> > Abraço, Duda.
> >
> >
> > From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> >> on 20.10.03 01:36, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br
> > wrote:
> >>
> >>> Oi Pessoal!
> >>>
> >>> E quanto à SOMA{ (1/n)*[(2 + sen(n))/3]^n , n=1, 2, ... } ?
> >>>
> >>> Abraço, Duda.
> >>>
> >> Oi, Duda:
> >>
> >> Interessante esse problema. Voce sabe a resposta?
> >>
> >> Um abraco,
> >> Claudio.
> >>
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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