[obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Bom, por um lado eh verdade que 1/3 < (2+sen(n))/3 < 1, para todo n natural
e que, portanto, o termo geral tende a zero.

Alem disso, a primeira vista, o n-esimo termo seria majorado por algo da
forma a^n/n, com 1/3 < a < 1, o que implicaria em convergencia. Soh que isso
nao eh verdade. Aquela nossa discussao sobre densidade e equidistribuicao
mostrou que a sequencia cujo termo geral eh (2+sen(n))/3 tem uma
subsequencia convergindo pra 1 (apesar de (2+sen(n))/3 nao ser UD em [1/2,1]
- acho que o Gugu mandou uma mensagem mostrando isso ou algo muito similar).
Isso significa que nao existe a em (1/3,1) tal que a majoracao mencionada
acima ocorre para todo n.

Claro, o problema estah no expoente n (sem ele, cada termo teria 1/(3n) como
cota inferior e a serie seria divergente por comparacao com a serie
harmonica). 

A serie SOMA(n>=1) ((2+sen(n))/3)^n tambem me parece problematica, pois nao
pode ser majorada por nenhuma serie geometrica com razao < 1. Nesse caso,
nao tenho nem certeza sobre se o termo geral tende a zero.

Talvez seja interessante considerar a serie SOMA(n>=1) x(n)^n, onde x(n) eh
uma sequencia UD em [0,1]. Uma duvida que eu tenho eh se o expoente n puxa
os termos da serie pra baixo o suficiente pra que ele convirja. Serah que,
pelo menos, lim x(n)^n = 0 ?

Espero que alguem com mais conhecimentos entre na discussao e tire essas
duvidas.

Um abraco,
Claudio.

on 23.10.03 00:57, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:

> Oi Cláudio!
> 
> Não sei a resposta. Eu deveria ter dito mais sobre o problema quando fiz a
> pergunta. Pelo que ouvi dizer, este é um problema que um professor copiou
> mal de um livro e propôs a seus alunos. (o problema original era trivial)
> Ele tentou e não conseguiu resolver o problema. O problema já passou por
> muita gente, segundo me contaram até numa das edições da revista AMM, e
> ainda não encontraram a solução.
> 
> A mim, parece que a série converge. Eu propus na lista por que sei que você,
> e outros, iriam se interessar, já que ela parece ter tudo a ver com a
> questão de seqüências equidistribuídas.
> 
> Ele não me parece tão difícil, o que você acha?
> 
> Abraço, Duda.
> 
> 
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>> on 20.10.03 01:36, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br
> wrote:
>> 
>>> Oi Pessoal!
>>> 
>>> E quanto à SOMA{ (1/n)*[(2 + sen(n))/3]^n , n=1, 2, ... } ?
>>> 
>>> Abraço, Duda.
>>> 
>> Oi, Duda:
>> 
>> Interessante esse problema. Voce sabe a resposta?
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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