Re: [obm-l] Sistema (IME)

[Fabio Dias Moreira <fabio.dias.moreira@xxxxxxxxxxxx>]

On 10/21/03 18:37:37, leonardo mattos wrote:
> x+y+z=a+b+1
> xy+(x+y)z=a+b+ab
> xy=ab
> 
> Determine os valores de a e b para q o sistema admita apenas solucoes  
> reais e positivas para x e y.
> [...]

Substituindo xy = ab em xy + (x+y)z = a+b+ab, z = a+b <=> z = (a+b)/(x 
+y). Seja c = a+b, w = x+y. Então z = c/w,

x+y+z = a+b+1
w + c/w = c+1
w^2 - (c+1)w + c = 0
w = c+1 +- sqrt(c^2 + 2c + 1 - 4c)
w = c+1 +- |c-1|.

Agora, é necessário que u^2 - wu + ab = 0 (os dois possíveis valores de  
u são os valores de x e y) só admita soluções reais e positivas,  
independente do valor de w. É necessário, portanto, que w^2 - 4ab >= 0.

c^2 + 2c + 1 +- 2|c^2 - 1| + c^2 - 2c + 1 - 4ab >= 0
c^2 + 1 +- |c^2 - 1| - 2ab >= 0
a^2 + 2ab + b^2 +- |c^2 - 1| - 2ab >= 0
a^2 + b^2 +- |c^2 - 1| >= 0

Além disso,

u = (w +- sqrt(a^2 + b^2 +- |c^2 - 1|))/2 deve ser maior que zero. Logo  
w - sqrt(a^2 + b^2 +- |c^2 - 1|) > 0 <=>
0 <= a^2 + b^2 +- |c^2 - 1| < w^2. Como o que está dentro da  
desigualdade é w^2 - 4ab, basta resolver o sistema

0 <= a^2 + b^2 +- |c^2 - 1|
-4ab < 0 <=> ab > 0, logo a e b têm mesmo sinal. A primeira  
desigualdade equivale às duas desigualdades

a^2 + b^2 + |c^2 - 1| >= 0
a^2 + b^2 - |c^2 - 1| >= 0

mas independente do sinal de |c^2 - 1|, as duas desigualdades equivalem  
a

a^2 + b^2 + c^2 >= 1 (i)
a^2 + b^2 + 1 >= c^2 (ii)

(i) 2a^2 + 2ab + 2b^2 >= 1. Se a = b = 0, a desigualdade é obviamente  
falsa. Seja q = a/b ou b/a, o que for apropriado para que não haja  
divisão por zero. A equação se torna 2q^2 + 2q + 1 >= 0, sempre  
verdadeira.
(ii) 1 >= 2ab <=> ab <= 1/2.

Combinando tudo, é necessário e suficiente que 0 < ab <= 1/2.

Alguém tem uma idéia para uma solução menos trabalhosa?

[]s,

-- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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