RE: [obm-l] Sistema (IME)

[Leandro Lacorte Recôva <leandrorecova@xxxxxxx>]

Leonardo, 

Eu pensei no sistema assim: 

Enumeremos as equacoes:

(1) x+y+z=a+b+1
(2) xy+(x+y)z=a+b+ab
(3) xy=ab

Isole (x+y) em (1) entao temos:  (x+y)=(a+b+1)-z  (4)
Substitua (4) e (3) em (2) e obtemos a equacao do 2o grau em z:

 ab+(a+b+1-z)z = a+b+ab, simplificando, obtemos

z^2-z(a+b+1)+(a+b) = 0

As solucoes dessa equacao sao z1 = a+b, z2=1. 

Entao, para cada valor de z, vamos encontrar os valores de x e y em funcao
de a e b e ver quais sao as condicoes necessarias que a e b devem satisfazer
para que as solucoes de x e y sejam positivas e reais. 

(Caso em que z2=1). 

Para z2=1, temos 

x+y=a+b
xy=ab 

Entao, isolando y=ab/x e substituindo na 1a equacao obtemos a equacao do 2o
grau em x: 

x^2-x(a+b)+ab=0 cujas solucoes sao x1=a ou x2=b. 

Para x1=a, obtemos y1=b e para x2=b, obtemos y2=a. Nesse caso, para z2=1,
para que x e y sejas positivas, devemos ter a >0 e b > 0. 



(Caso em que z1=a+b). 

Substituindo esse valor de z1 em (1) obtemos

	x+y = 1
	xy=ab 
Isolando x=1-y e substituindo em xy=ab, obtemos a equacao do 2o grau para y
dada por

		y^2 - y + ab = 0

O discriminante dessa equacao e dado por Delta=1-4ab. Para que y tenha
solucoes reais e positivas, devemos fazer com que 1-4ab>=0, ou ainda,

		1-4ab >=0 => ab<=1/4. (*)

Nesse caso, observe que as solucoes de y serao dadas por

Y1 = (1/2)*(1-sqrt(1-4ab)) >=0  (Numerador sempre >=0. Porque ? Ver (*))
Y2 = (1/2)*(1-sqrt(1-4ab)) >=0  (Numerador sempre >=0. Porque ? Ver (*))


Porem, x=ab/y. Note, que y1 e y2 sao positivas, porem, da restricao (*)
podemos ter o caso em que x1 <=0 e x2<=0 caso ab<=0. Portanto, para que
tenhamos as solucoes x positivas e reais devemos acrescentar mais a
restricao em (*) de que ab >=0. Nesse caso, a condicao final para z1=(a+b),
devemos ter que 0<=ab<=1/4. 

 
Caso tenha errado em contas ou raciocinio, favor corrigir-me. 

Leandro. 
Los Angeles, CA. 





-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of leonardo mattos
Sent: Tuesday, October 21, 2003 1:38 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Sistema (IME)

x+y+z=a+b+1
xy+(x+y)z=a+b+ab
xy=ab

Determine os valores de a e b para q o sistema admita apenas solucoes reais 
e positivas para x e y.

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