RE: [obm-l] Sistema (IME)

["leonardo mattos" <leonar_matt@xxxxxxxxxxx>]

Poxa...tb tinha chegado na equacao de grau 2 em funcao de z mas achei q ela 
nao daria peh por causa do enunciado...brigadao...


>From: Leandro Lacorte Recôva <leandrorecova@msn.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: RE: [obm-l] Sistema (IME)
>Date: Wed, 22 Oct 2003 09:11:48 -0700
>
>Leonardo,
>
>Eu pensei no sistema assim:
>
>Enumeremos as equacoes:
>
>(1) x+y+z=a+b+1
>(2) xy+(x+y)z=a+b+ab
>(3) xy=ab
>
>Isole (x+y) em (1) entao temos:  (x+y)=(a+b+1)-z  (4)
>Substitua (4) e (3) em (2) e obtemos a equacao do 2o grau em z:
>
>  ab+(a+b+1-z)z = a+b+ab, simplificando, obtemos
>
>z^2-z(a+b+1)+(a+b) = 0
>
>As solucoes dessa equacao sao z1 = a+b, z2=1.
>
>Entao, para cada valor de z, vamos encontrar os valores de x e y em funcao
>de a e b e ver quais sao as condicoes necessarias que a e b devem 
>satisfazer
>para que as solucoes de x e y sejam positivas e reais.
>
>(Caso em que z2=1).
>
>Para z2=1, temos
>
>x+y=a+b
>xy=ab
>
>Entao, isolando y=ab/x e substituindo na 1a equacao obtemos a equacao do 2o
>grau em x:
>
>x^2-x(a+b)+ab=0 cujas solucoes sao x1=a ou x2=b.
>
>Para x1=a, obtemos y1=b e para x2=b, obtemos y2=a. Nesse caso, para z2=1,
>para que x e y sejas positivas, devemos ter a >0 e b > 0.
>
>
>
>(Caso em que z1=a+b).
>
>Substituindo esse valor de z1 em (1) obtemos
>
>	x+y = 1
>	xy=ab
>Isolando x=1-y e substituindo em xy=ab, obtemos a equacao do 2o grau para y
>dada por
>
>		y^2 - y + ab = 0
>
>O discriminante dessa equacao e dado por Delta=1-4ab. Para que y tenha
>solucoes reais e positivas, devemos fazer com que 1-4ab>=0, ou ainda,
>
>		1-4ab >=0 => ab<=1/4. (*)
>
>Nesse caso, observe que as solucoes de y serao dadas por
>
>Y1 = (1/2)*(1-sqrt(1-4ab)) >=0  (Numerador sempre >=0. Porque ? Ver (*))
>Y2 = (1/2)*(1-sqrt(1-4ab)) >=0  (Numerador sempre >=0. Porque ? Ver (*))
>
>
>Porem, x=ab/y. Note, que y1 e y2 sao positivas, porem, da restricao (*)
>podemos ter o caso em que x1 <=0 e x2<=0 caso ab<=0. Portanto, para que
>tenhamos as solucoes x positivas e reais devemos acrescentar mais a
>restricao em (*) de que ab >=0. Nesse caso, a condicao final para z1=(a+b),
>devemos ter que 0<=ab<=1/4.
>
>
>Caso tenha errado em contas ou raciocinio, favor corrigir-me.
>
>Leandro.
>Los Angeles, CA.
>
>
>
>
>
>-----Original Message-----
>From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of leonardo mattos
>Sent: Tuesday, October 21, 2003 1:38 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Sistema (IME)
>
>x+y+z=a+b+1
>xy+(x+y)z=a+b+ab
>xy=ab
>
>Determine os valores de a e b para q o sistema admita apenas solucoes reais
>e positivas para x e y.
>
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