Re:_[obm-l]_Problemas_de_Divisibilidade

[Carlos Maçaranduba <soh_lamento@xxxxxxxxxxxx>]

e pode fazer isso numa induçao???Supor que para uma
sequencia é valida e provar seu sucessor???
O que ate hoje eu sabia, era que primeiro era o caso
base.Depois vc supunha para um x e provava para um
x+1(ou se quiser um x-1 e provava para um x) e com
isso provado vc mostrava que era valido para qualquer
x.Sendo x=n vc esta dizendo que ele é valido para
qualquer sequencia de x -1 termos mas como vc pode
dizer que uma sequencia é valida se vc nem provou que
dado um termo n, seu sucessor é valido????
Fica aqui minha duvida.

 --- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu: > Bom, o do (3+raiz(5))^n + (3-raiz(5))^n
ser
> divisivel por 2^n sai por inducao.
> Pra n = 0 e n = 1 eh obvio.
> Suponha que o resultado valha para 0 <= k <= n-1.
> Sejam a = 3 + raiz(5) e b = 3 - raiz(5) ==> a+b = 6 
> e  a*b= 4.
> Alem disso:
> a^n + b^n = 
> a*a^(n-1) + b*b^(n-1) + a*b^(n-1) + b*a^(n-1) -
> a*b^(n-1) - b*a^(n-1) =
> (a + b)*(a^(n-1) + b^(n-1)) - a*b*(a^(n-2) +
> b^(n-2)) =
> 6*(a^(n-1) + b^(n-1)) - 4*(a^(n-2) + b^(n-2)) =
> 6*(p*2^(n-1)) - 4*(q*2^(n-2)) =
> 2^n*(3*p - q) ==>
> 2^n divide a^n + b^n.
> 
> Nao tive nenhuma boa ideia pro outro a nao ser usar
> forca bruta e deduzir a formula pra 1^5 + 2^5 + ...
> + n^5 (o que eh meio sacal, mas certamente
> funciona).
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
> De:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Tue, 14 Oct 2003 14:17:37 -0300 (ART)
> 
> Assunto:Re: [obm-l] Problemas de Divisibilidade
> 
>   
> 
> > nao consegui demonstrar..
> > --- Claudio Buffara 
> > escreveu: > Pergunta:
> > > Voce quer saber como se demonstra ou jah conhece
> uma
> > > demeonstracao e estah
> > > propondo o problema pra lista?
> > > 
> > > on 13.10.03 16:58, Carlos Maçaranduba at
> > > soh_lamento@yahoo.com.br wrote:
> > > 
> > > > essa da congruencia foi legal..Valeu.Tente o
> resto
> > > que
> > > > eu enviei...
> > > > 
> > > > --- Cláudio_(Prática)
> > > > escreveu: >
> > > >> ----- Original Message -----
> > > >> From: "Carlos Maçaranduba"
> > > >> 
> > > >> To: 
> > > >> Sent: Sunday, October 12, 2003 6:32 PM
> > > >> Subject: [obm-l] Problemas de Divisibilidade
> > > >> 
> > > >> 
> > > >>> II-Se n >1 e impar => 1^n + 2^n + ... (n
> -1)^n é
> > > >>> divisivel por n.
> > > >>> 
> > > >> Usando congruências mod n, teremos:
> > > >> 1 == -(n-1)
> > > >> 2 == -(n-2)
> > > >> ...
> > > >> (n-1)/2 == -(n+1)/2
> > > >> 
> > > >> Elevando essas (n-1)/2 congruências ao
> expoente n
> > > >> (que é ímpar), obteremos:
> > > >> 1^n == -(n-1)^n
> > > >> 2^n == -(n-2)^n
> > > >> ...
> > > >> ((n-1)/2)^n == -((n+1)/2)^n
> > > >> 
> > > >> Somando tudo, ficaremos com:
> > > >> 1^n + 2^n + ... + ((n-1)/2)^n == -(n-1)^n -
> > > (n-2)^n
> > > >> - ... - ((n+1)/2)^n
> > > >> 
> > > >> Ou seja:
> > > >> 1^n + 2^n + ... + (n-2)^n + (n-1)^n == 0 (mod
> n)
> > > >> 
> > > >> O que quer dizer que:
> > > >> n divide 1^n + 2^n + ... + (n-1)^n.
> > > >> 
> > > >> Um abraço,
> > > >> Claudio.
> > > >> 
> > > >> 
> > > >
> > >
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> > > >> Instruções para entrar na lista, sair da
> lista e
> > > >> usar a lista em
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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