Bom, o do (3+raiz(5))^n + (3-raiz(5))^n ser divisivel por 2^n sai por inducao.
Pra n = 0 e n = 1 eh obvio.
Suponha que o resultado valha para 0 <= k <= n-1.
Sejam a = 3 + raiz(5) e b = 3 - raiz(5) ==> a+b = 6 e a*b= 4.
Alem disso:
a^n + b^n =
a*a^(n-1) + b*b^(n-1) + a*b^(n-1) + b*a^(n-1) - a*b^(n-1) - b*a^(n-1) =
(a + b)*(a^(n-1) + b^(n-1)) - a*b*(a^(n-2) + b^(n-2)) =
6*(a^(n-1) + b^(n-1)) - 4*(a^(n-2) + b^(n-2)) =
6*(p*2^(n-1)) - 4*(q*2^(n-2)) =
2^n*(3*p - q) ==>
2^n divide a^n + b^n.
Nao tive nenhuma boa ideia pro outro a nao ser usar forca bruta e deduzir a formula pra 1^5 + 2^5 + ... + n^5 (o que eh meio sacal, mas certamente funciona).
Um abraco,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 14 Oct 2003 14:17:37 -0300 (ART) |
| Assunto: |
Re: [obm-l] Problemas de Divisibilidade |
> nao consegui demonstrar..
> --- Claudio Buffara
> escreveu: > Pergunta:
> > Voce quer saber como se demonstra ou jah conhece uma
> > demeonstracao e estah
> > propondo o problema pra lista?
> >
> > on 13.10.03 16:58, Carlos Maçaranduba at
> > soh_lamento@yahoo.com.br wrote:
> >
> > > essa da congruencia foi legal..Valeu.Tente o resto
> > que
> > > eu enviei...
> > >
> > > --- Cláudio_(Prática)
> > > escreveu: >
> > >> ----- Original Message -----
> > >> From: "Carlos Maçaranduba"
> > >>
> > >> To:
> > >> Sent: Sunday, October 12, 2003 6:32 PM
> > >> Subject: [obm-l] Problemas de Divisibilidade
> > >>
> > >>
> > >>> II-Se n >1 e impar => 1^n + 2^n + ... (n -1)^n é
> > >>> divisivel por n.
> > >>>
> > >> Usando congruências mod n, teremos:
> > >> 1 == -(n-1)
> > >> 2 == -(n-2)
> > >> ...
> > >> (n-1)/2 == -(n+1)/2
> > >>
> > >> Elevando essas (n-1)/2 congruências ao expoente n
> > >> (que é ímpar), obteremos:
> > >> 1^n == -(n-1)^n
> > >> 2^n == -(n-2)^n
> > >> ...
> > >> ((n-1)/2)^n == -((n+1)/2)^n
> > >>
> > >> Somando tudo, ficaremos com:
> > >> 1^n + 2^n + ... + ((n-1)/2)^n == -(n-1)^n -
> > (n-2)^n
> > >> - ... - ((n+1)/2)^n
> > >>
> > >> Ou seja:
> > >> 1^n + 2^n + ... + (n-2)^n + (n-1)^n == 0 (mod n)
> > >>
> > >> O que quer dizer que:
> > >> n divide 1^n + 2^n + ... + (n-1)^n.
> > >>
> > >> Um abraço,
> > >> Claudio.
> > >>
> > >>
> > >
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