Re: [obm-l] Problemas de Divisibilidade

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Carlos Maçaranduba" <soh_lamento@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, October 12, 2003 6:32 PM
Subject: [obm-l] Problemas de Divisibilidade


> II-Se n >1 e impar => 1^n + 2^n + ... (n -1)^n é
> divisivel por n.
>
Usando congruências mod n, teremos:
1 == -(n-1)
2 == -(n-2)
...
(n-1)/2 == -(n+1)/2

Elevando essas (n-1)/2 congruências ao expoente n (que é ímpar), obteremos:
1^n == -(n-1)^n
2^n == -(n-2)^n
...
((n-1)/2)^n == -((n+1)/2)^n

Somando tudo, ficaremos com:
1^n + 2^n + ... + ((n-1)/2)^n == -(n-1)^n - (n-2)^n - ... - ((n+1)/2)^n

Ou seja:
1^n + 2^n + ... + (n-2)^n + (n-1)^n == 0 (mod n)

O que quer dizer que:
n divide 1^n + 2^n + ... + (n-1)^n.

Um abraço,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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