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Carissimo colega, a jogada toda esta em voce usar a definicao dos coeficientes da Serie de Fourier, pois uma soma dentro da integral se transforma em duas somas de integrais. Veja so, (considerando que f,g possam ser expressas como serie de Fourier e estejam definidas em (-T,T))
Seja h(x)=X.f(x) + W.g(x), X e W, numeros inteiros, e ainda seja S(f(x)) e S(g(x)) dadas por:
SF(f(x)) = a(0)/2 + sum(n=1,inf) [a(n).cos(n.pi.x/T) + b(n).sin(n.pi.x/T) ], onde
a(0) = 1/T. Int(-T,T) f(x)dx,
a(n)=1/T int(-T,T)(f(x)cos(n.pi.x/T))dx e
b(n)= a(n)=1/T int(-T,T)(f(x).sin(n.pi.x/T))dx.
SF(g(x)) = c(0)/2 + sum(n=1,inf) [c(n).cos(n.pi.x/T) + d(n).sin(n.pi.x/T) ], onde
c(0) = 1/T. Int(-T,T) g(x)dx,
c(n)=1/T int(-T,T)(g(x)cos(n.pi.x/T))dx e
d(n)= 1/T int(-T,T)(g(x).sin(n.pi.x/T))dx.
PORTANTO, a serie de Fourier de h(x) e dada por:
SF(h(x)) = A(0)/2 + sum(n=1,inf) [A(n).cos(n.pi.x/T) + B(n).sin(n.pi.x/T) ], onde
A(0) = 1/T. Int(-T,T) h(x)dx = 1/T. Int(-T,T) (X(f(x)+W.g(x)) = X(a(0)) + W(c(0))
A(n)=1/T int(-T,T)(h(x)cos(n.pi.x/T))dx = 1/T int(-T,T)(Xf(x)+W(g(x)))cos(n.pi.x/T))dx = X(a(n))+ W(c(n))
B(n)= a(n)=1/T int(-T,T)(h(x).sin(n.pi.x/T))dx = 1/T int(-T,T)((X.f(x)+W.g(x)).sin(n.pi.x/T))dx = X(b(n))+W(d(n))
Substituindo A(0),A(n) e B(n) em SF(h(x)) encontraremos,
SF(h(x)) = SF(X.f(x)+W.g(x)) = ˝ (X.a(0) + W(c(0)) + sum(n=1,inf).{[X.a(n)+W.b(n)]cos(n.pi.x/T)] + [X.b(n)+W(d(n)]sin(n.pi.x/T)]} =
= X.( a(0)/2 + sum(n=1,inf) [a(n).cos(n.pi.x/T) + b(n).sin(n.pi.x/T) ) + W.( (0)/2 + sum(n=1,inf) [c(n).cos(n.pi.x/T) + d(n).sin(n.pi.x/T) )
= X.SF(f(x)) + W.SF(g(x)).
c.q.d.
Se voce for estudar de Teoria de Comunicacoes (modulacoes, etc),eletromagnetismo, isso sera uma ferramenta basica !!!!!
Regards
Leandro.
-----Original Message-----
Eu nao consigo provar a linearidade das series de Fourier. Alguem me dah uma ideia?
SF{ a.f(x) + b.g(x) } = a.SF{ f(x) } + b.SF{ g(x) }
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