Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia...
"Um numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz racional".

Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

> Pensando um pouco neste problema observei que, se a eh algebrico de grau n e
> P eh um polinomio de grau n que admite a como raiz, entao a eh raiz de
> multiplicidade 1. Mas nao estou vendo como esta observacao, certamente muito
> conhecida dos que estudam teoria dos numeros, pode ajudar a resolver o
> problema.
> Artur
>
>
> Oi, pessoal:
>
> O problema do Macaranduba me deu uma ideia:
> Sabemos que um numero "a" eh dito algebrico de grau n (n >= 1) se "a" eh
> raiz de um polinomio de grau n e coeficientes inteiros mas nao eh raiz de
> nenhum polinomio de coeficientes inteiros e grau < n.
>
> Sejam a e b numeros algebricos de graus m e n, respectivamente.
> Sabemos que a+b e a*b tambem sao algebricos.
>
> O que podemos afirmar sobre os graus de a+b e a*b?
>
> Eu diria que os graus de ambos sao sempre <= MMC(m,n), com igualdade se e
> somente se a e
>  b sao L.I. sobre os racionais (ou seja, se r*a + s*b = 0, com
> r e s racionais, entao r = s = 0), mas nao tenho uma demonstracao disso (e
> nem um contra-exemplo).
>
> Alguem se habilita?
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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