Re: [obm-l] Torneio de tenis

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Valeu por maios essa Claudio!!!

Ass.:Johann

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

> on 22.09.03 13:49, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:
>
> > Oi turma, estou tentando resolver esse problema pra fechar a soluçao de um problema da IMO:
> > "Considere n inteiro positivo, e um torneio de tenis no qual todos os n jogadores jogam contra todos.
> > Sabe-se que e possivel distribuir as partidas em n-1 dias de modo que cada jogador jogue exatamente uma vez por dia.
> > Ache todos os possiveis valores de n."
> >
> >
> > Se cada jogador joga exatamente 1 vez ao dia e todas as n(n-1)/2 partidas podem ser distribuidas em n-1 dias, entao, a cada dia, sao jogadas n/2 partidas ==> n eh par.
> >
> > Por inspecao vemos que n = 2 e n = 4 servem:
> > {1,2}
> > e
> > {1,2}  {3,4}
> > {1,3}  {2,4}
> > {1,4}  {2,3}.
> >
> > Agora eh soh usar o metodo tradicional de se organizar um campeonato de "round-robin" (todo mundo joga contra todo mundo):
> >
> > Consideremos um campeonato com 2m jogadores (m >= 3).
> >
> > Removendo um dos jogadores, podemos associar cada um dos 2m-1 jogadores restantes a um dos vertices de um
> >  (2m-1)-gono regular.
> >
> > Cada aresta desse (2m-1)-gono possui (2m-1 - 3)/2 = m-2 diagonais paralelas a ela.
> >
> > Para cada aresta, as extremidades dela e de cada uma das m-2 diagonais paralelas a ela determina uma partida. Sub-total = m-1 partidas (envolvendo 2m-2 jogadores = vertices).
> >
> > O jogador (vertice) restante  joga com aquele que ficou de fora, completando a tabela do dia (Total = m partidas).
> >
> > Como existem 2m-1 arestas, obtemos as tabelas dos 2m-1 dias. Eh facil verificar que cada jogador joga exatamente uma vez com cada um dos outros.
> >
> > Essa construcao independe do valor de m. Logo, vale para todo m >= 3.
> >
> > Como verificamos por inspecao que m = 1 e m = 2 tambem servem, concluimos que qualquer valor par de n serve.
> >
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.