Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Pensando um pouco neste problema observei que, se a eh algebrico de grau n e
P eh um polinomio de grau n que admite a como raiz, entao a eh raiz de
multiplicidade 1. Mas nao estou vendo como esta observacao, certamente muito
conhecida dos que estudam teoria dos numeros, pode ajudar a resolver o
problema.
Artur


Oi, pessoal:

O problema do Macaranduba me deu uma ideia:
Sabemos que um numero "a" eh dito algebrico de grau n (n >= 1) se "a" eh
raiz de um polinomio de grau n e coeficientes inteiros mas nao eh raiz de
nenhum polinomio de coeficientes inteiros e grau < n.

Sejam a e b numeros algebricos de graus m e n, respectivamente.
Sabemos que a+b e a*b tambem sao algebricos.

O que podemos afirmar sobre os graus de a+b e a*b?

Eu diria que os graus de ambos sao sempre <= MMC(m,n), com igualdade se e
somente se a e b sao L.I. sobre os racionais (ou seja, se r*a + s*b = 0, com
r e s racionais, entao r = s = 0), mas nao tenho uma demonstracao disso (e
nem um contra-exemplo).

Alguem se habilita?

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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