[obm-l] =?iso-8859-15?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_Sub_Espa=E7os_Vetoriais.?= =?iso-8859-15?Q?_Duvidas..?=

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 23 Sep 2003 02:54:13 +0000, Juliano L.A. <juliano3@hotmail.com> 
wrote:

> Olá pessoal,
>
> Estou tendo algumas duvidas com essa materia, se alguem poder corrigir oq 
> eu tentei fazer e me ensinar como faz os que eu nao consegui terminar, 
> agradeceria. Valeu
>
> O exercicio pede para que eu verifique quais dos conjuntos abaixo sao sub 
> espacos vetoriais do R3:
>
>
> 1) W = {(x,y,z) E R3 / x=4y e z = 0}
>
> Verificando..
>
> i) Para todo u, v E W; u+v E W
>
> sejam u = (x1, y1, z1) E W
>
> v = (x2, y2, z2) E W
>
> u+v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) E W ?
>
> x1+x2 = 4y1 + 4y2 = 4.(y1+y2)
>
> z1+z2 = 0+0=0
>
> ii) Para todo a(alfa) E R, a.u E W
>
> a.y = a(x,y,z) = (ax, ay, az)
>
> [a(4y), ay, a.0)] = [ 4(ay), ay, 0 ]
>
> Isto prova que W é sub espaco do R3? Tem algo errado nisso?

  Sim, prova. As propriedades de associatividade, comutatividade e 
distributividade são herdadas de R3, assim como a multiplicação por 1. O 
fechamento em relação ao produto por escalar garante que 0 esta em W e, 
para todo v em W, -v está em W. O fechamento em relação à soma também está 
provado, de modo que todas as propriedades estão satisfeitas. Resumindo, a 
fim de provar que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço 
vetorial, basta mostrar que é fechado em relação à soma e ao produto por 
escalar.

>
> e como eu procederia para a verificacao do sub espaco abaixo?
>
> W = {(x,y,z) E R3 / y = x² }
>
> apos efetuar a soma de u+ v = ( x1 + x2, y1+ y2, z1+ z2)
>
> faço y = x²
>
> entao y1+ y2 = (x1 + x2).(x1 + x2)
>

  Sabemos que
  y1 = x1^2 e y2 = x2^2
  -> y1 + y2 = x1^2 + x2^2 que nem sempre é igual a (x1 + x2)^2
  Logo W não é um subespaco.

> e como ficaria na outra propriedade?

  a * (x,y,z) = (a*x,a*y,a*z) = (a*x,a*x^2,a*z) = (x1,y1,z1)
  a fim de que W seja subespaco, teriamos que y1 = x1^2
  como a*x^2 nem sempre é igual a (a*x)^2, W não é subespaço.
>
> obrigado.
>

[]s
Felipe Pina

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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