[obm-l] Beleza matematica - T. do valor Intermediario

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Dentro da ideia do Claudio, vou apresentar a prova deste que eh um dos mais
importantes teoremas da Analise: Se f eh continua em [a, b], entao f assume
em [a,b] todos os valores compreendidos entre f(a) e f(b). Para facilitar,
podemos, sem qualquer perda de generalidade, mostrar que, nas condicoes
dadas, se f(a)<0 e f(b)> 0 entao existe um c em (a,b) tal que f(c)=0. Vou
apresentar uma prova que acho linda. Definamos S = {x em [a,b] | f(x)<0}.
Como S eh limitado superiormente por b, existe c = supremo S, sendo imediato
que c pertence a [a,b]. Se f(c)<0, entao c estah em S e c<b. Em virtude da
continuidade de f em [a,b], portanto em c, segue-se que existe 0< h < b-c
tal que f eh estritamente negativa em (c, c+h). Logo, (c, c+h) eh
subconjunto de S, o que implica a existencia de um y em S (na realidade, uma
infinidade) tal que y>c. Mas, como isto contraria a definicao de c = supremo
S, segue-se que f(c)<0 eh uma hipotese insustentavel. Se, por outro lado,
f(c)>0, entao c>a. Da continuidade de f em c, segue-se que existe 0<h<c-a
tal que f eh estritamente positiva em (c-h, c), o que acarreta que (c-h, c)
nao intersecte S. Mas isto contraria a definicao de c como supremo de S,
mostrando que f(c)> 0 eh tambem uma hipotese insustentavel. Por exclusao,
concluimos que f(c)=0. Nesta prova, o principio do supremo desempenha papel
fundamental. 

Uma outra prova tambem interessante e baseada no fato de que R eh completo
(o que equivale ao principio do supremo) deu origem ao metodo da biseccao
para achar raizes de equacoes do tipo f(x)=0, quando f eh continua.
Definamos a1=a, b1= b, I1= [a1,b1] e seja c1 o ponto medio de I1. Se
f(c1)=0, acabou! Se f(c1)>0, facamos a2=a1 e b2 = c1; se f(c1<0, facamos
a2=c1 e b2=b1.  Definamos agora I2 = [a2, b2] e tomemos seu ponto medio c2;
Se f(c2) =0, fim;  se não, apliquemos a I2 o mesmo processo descrito,
obtendo I3, e assim sucessivamente. Se este processo terminar apos um numero
finito de passos, entao encontraremos um c em [a,b] tal que f(c) = 0. Se o
processo prosseguir indefinidamente, obteremos sequencias (a_n) e (b_n)
tais que, para cada n, a <= a_ n < b_n <= b, f(a_n)<0 (1) e f(b_n)>0 (2). Em
virtude das sucessivas biseccoes realizadas, teremos, tambem para cada n,
que b_n - a_n = 2^(-(n-1))*(b-a) Como R eh completo, existe um elemento c
comum a todos os intervalos fechados I_n, sendo portanto imediato que, para
todo n, 0 <= c - a_n <= 2^(-(n-1))*(b-a) e 0 <= b_n - c <= 2^(-(n-1))*(b-a).
Como 2^(-(n-1))*(b-a) --> 0, temos que (a_n) e (b_n) convergem para c, fato
que, em virtude da continuidade de f, acarreta que (f(a_n)) e (f(b_n))
convirjam para f(c). Considerando-se as propriedades dos limites de
sequencias, segue-se de (1) que f(c)<=0 e de (2) que f(c)>=0. Logo , f(c) =
0, o que demonstra o teorema.

Eh ainda interessante comentar que este teorema eh um caso particular de
outro bem mais geral, valido nao apenas em R, mas em R^n, em espacos
metricos e, ateh mesmo, em todos os espacos topologicos. Ou seja, se X e um
espaco conexo e f:X-->Y eh continua em X, entao f(X) eh um subconjunto
conexo de Y. Funcoes continuas preservam conectividade. Como na reta real os
conjuntos conexos sao os intervalos, a imagem de [a,b] sob f eh tambem um
intervalo (e fechado, pois [a,b] eh compacto). Como f(a) e f(b) estao em
f([a,b]), segue-se, pelas propriedades dos intervalos, que f assume todos os
valores compreendidos entre f(a) e f(b). Um abraco
 Artur

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