Re: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 17.09.03 23:05, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aa
> media geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, os
> numeros forem todos iguais.
> Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao havia
> me dado conta disto.
> Abracos.
> Artur  
> 
Isso eh consequencia de MG <= MA.

Considere os numeros positivos a1, a2, ..., an.

A sua media harmonica eh igual a n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)

Entao: 
((1/a1)*(1/a2)*...*(1/an))^(1/n) <= (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ==>

1/(a1*a2*...*an)^(1/n) <=  (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ==>

(a1*a2*...*an)^(1/n) >= n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) ==>

MG >= MH e igualdade sss 1/a1 = 1/a2 = ... = 1/an sss a1 = a2 = ... = an.


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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