Re: [obm-l] Imagem densa

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 17.09.03 22:14, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> Boa noite a todos os amigos.
> Um fato que me parece relevante eh que a funcao cosseno eh periodica e
> continua em R e seu periodo minimo, 2PI, eh irracioinal.
Oi, Artur:
Eu tambem achava isso, mas a funcao real f(x) = cos(x^2) nao eh periodica e
eu tenho a sensacao (mas nao a demonstracao) de que o conjunto de valores de
aderencia da sequencia y(n) = cos(n^2) tambem eh [-1,1].

>Pelo que jah
> vimos, o conjunto A= {(2PI)a*n +m | m, n inteiros} eh denso em R. O
> conjunto imagem do cosseno eh [-1, 1]. Para qualquer r neste intervalo,
> existe, face aa continuidade da funcao cosseno, x em [-1, 1] (hah, eh
> claro, uma infinidade) tal que cos(x) = r.
Nesse caso acho que o que eh importante nao eh a continuidade mas o fato de
cos ser uma sobrejecao de R em [-1,1]. Por exemplo, a funcao f definida
acima eh descontinua em todo x inteiro.

Mais um exemplo: Seja f:R -> R dada por:
f(x) = cos(x^2) se x eh racional
f(x) = -cos(x^2) se x eh irracional.
f eh nao-periodica e descontinua em quase todo ponto e eu apostaria que o
conjunto de valores de aderencia de z(n) = f(n) eh [-1,1].
 
Claro, tudo o que eu falei eh soh conjectural. Eu adoraria ver as
demonstracoes ou contra-exemplos.

Um abraco,
Claudio.

> Em virtude novamente da
> continuidade do cosseno e do fato de que A eh denso em R, podemos, para
> todo eps>0,  achar inteiros n e m tais que |cos(2PI*n +m) -r|<eps -->
> |cos(m) -r|<eps (usando agora a periodicidade do cosseno). Logo, o
> conjunto imagem da sequencia ((cos(n)) eh denso em [-1,1], o que
> equivale a dizer que [-1, 1] eh o conjunto dos seus pontos de aderencia.
> 
> Podemos generalizar:
> Teorema: Se f eh periodica e continua em R e seu periodo minimo p eh
> irracional, entao o conjunto dos pontos de aderencia da sequencia (f(n))
> eh o intervalo fechado [-m, M], onde m e M sao os valores minimo e
> maximo que f assume em [0, p].
> Prova: Exatamente os mesmos argumentos que apresentei, generlaizados
> agora  para f, p e [-m , M].
> 
> Um grande abraco a todos
> Artur  
> 
>> Oi, Salvador:
>> 
>> Em essência eu acho que é isso, apesar de você ter omitido alguns
> passos
>> facilmente formalizáveis.
>> 
>> Uma pergunta que me ocorre é: que propriedade de f(x) = cos(x) você
> usou?
>> Apenas que f é uma sobrejeção de [0,2Pi] em [-1,1]?
>> Será que o fato de que f é contínua também é relevante?
>> Que tal cos(m + n*2Pi) = cos(|m|) com m, n inteiros?
>> 
>> Mais geralmente, a minha pergunta é a seguinte:
>> Dado um conjunto X contido em R e uma função f: X -> R, se A é um
>> subconjunto qualquer de X tal que A é denso em X, qual a condição
> (sobre X
>> e
>> f) para que f(A) seja denso em f(X)?
>> 
>> Um abraço,
>> Claudio.
>> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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