RE: [obm-l] Imagem densa

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Boa noite a todos os amigos.
Um fato que me parece relevante eh que a funcao cosseno eh periodica e
continua em R e seu periodo minimo, 2PI, eh irracioinal. Pelo que jah
vimos, o conjunto A= {(2PI)a*n +m | m, n inteiros} eh denso em R. O
conjunto imagem do cosseno eh [-1, 1]. Para qualquer r neste intervalo,
existe, face aa continuidade da funcao cosseno, x em [-1, 1] (hah, eh
claro, uma infinidade) tal que cos(x) = r. Em virtude novamente da
continuidade do cosseno e do fato de que A eh denso em R, podemos, para
todo eps>0,  achar inteiros n e m tais que |cos(2PI*n +m) -r|<eps -->
|cos(m) -r|<eps (usando agora a periodicidade do cosseno). Logo, o
conjunto imagem da sequencia ((cos(n)) eh denso em [-1,1], o que
equivale a dizer que [-1, 1] eh o conjunto dos seus pontos de aderencia.

Podemos generalizar: 
Teorema: Se f eh periodica e continua em R e seu periodo minimo p eh
irracional, entao o conjunto dos pontos de aderencia da sequencia (f(n))
eh o intervalo fechado [-m, M], onde m e M sao os valores minimo e
maximo que f assume em [0, p]. 
Prova: Exatamente os mesmos argumentos que apresentei, generlaizados
agora  para f, p e [-m , M].

Um grande abraco a todos
Artur  

> Oi, Salvador:
> 
> Em essência eu acho que é isso, apesar de você ter omitido alguns
passos
> facilmente formalizáveis.
> 
> Uma pergunta que me ocorre é: que propriedade de f(x) = cos(x) você
usou?
> Apenas que f é uma sobrejeção de [0,2Pi] em [-1,1]?
> Será que o fato de que f é contínua também é relevante?
> Que tal cos(m + n*2Pi) = cos(|m|) com m, n inteiros?
> 
> Mais geralmente, a minha pergunta é a seguinte:
> Dado um conjunto X contido em R e uma função f: X -> R, se A é um
> subconjunto qualquer de X tal que A é denso em X, qual a condição
(sobre X
> e
> f) para que f(A) seja denso em f(X)?
> 
> Um abraço,
> Claudio.
> 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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