Re: [obm-l] Sequencias convergentes

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Nossa! Eu estava tao fixado em logaritmos, irracionais, fracoes continuas e
casas de pombos que acabei nao vendo o obvio ==> acabei desobedecendo o
axioma numero 2...

Obrigado, Gugu!

Um abraco,
Claudio.

on 16.09.03 20:19, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
wrote:

> Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
> converge a a e b(b) a b com a<=1<=b. Para n grande trocamos um par perto de
> (a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
> devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
> e b>1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
> a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
> e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
> caso (a<1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
> Abracos,
> Gugu
> 
>> 
>> Oi, pessoal:
>> 
>> Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
>> continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
>> positivos} eh denso em R.
>> 
>> A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
>> 
>> Sejam a, b reais tais que 0 < a < 1 < b e a^m*b^n <> 1, para quaisquer m, n
>> inteiros positivos.
>> Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
>> a(1) = a; b(1) = b
>> Para n >= 1:
>> a(n)*b(n) < 1 ==> a(n+1) = a(n)*b(n)  e  b(n+1) = b(n);
>> a(n)*b(n) > 1 ==> a(n+1) = a(n)  e  b(n+1) = a(n)*b(n).
>> Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
>> 
>> Levando em conta que a^m*b^n <> 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
>> e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
>> acabou...
>> 
>> Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
>> 
>> Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
>> falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
>> 
>> Qulquer dica serah bem-vinda.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
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>> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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