Re: [obm-l] Sequencias convergentes

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
converge a a e b(b) a b com a<=1<=b. Para n grande trocamos um par perto de
(a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
e b>1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
caso (a<1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
   Abracos,
            Gugu
  
>
>Oi, pessoal:
>
>Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
>continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
>positivos} eh denso em R.
>
>A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
>
>Sejam a, b reais tais que 0 < a < 1 < b e a^m*b^n <> 1, para quaisquer m, n
>inteiros positivos.
>Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
>a(1) = a; b(1) = b
>Para n >= 1:
>a(n)*b(n) < 1 ==> a(n+1) = a(n)*b(n)  e  b(n+1) = b(n);
>a(n)*b(n) > 1 ==> a(n+1) = a(n)  e  b(n+1) = a(n)*b(n).
>Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
>
>Levando em conta que a^m*b^n <> 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
>e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
>acabou...
>
>Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
>
>Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
>falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
>
>Qulquer dica serah bem-vinda.
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================