Re: [obm-l] Sequencias convergentes

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal:

Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
positivos} eh denso em R.

O problema das sequencias parece muito bonito, vou tentar resolve-lo. Jah
que vc tocou de novo no outro lindo problema da semana passada, vou
apresentar aqui a prova (e espero que seja mesmo uma prova..) que eu
consegui desenvolver usando o principio da casa dos pombos. Eh parecida com
a que eu enviei sabado para a lista, a arespeito do problema original do
livro do Erlon. Sendo entao A o conjunto acima:
(1) Basta demonstrar que A eh denso em [0, infinito). --- Se r<0, escolhamos
um inteiro positivo k tal que k > |r|. Então, r+k>0 e, para todo eps>o,
existem inteiros positivos n e m tais que  r+k-eps < a*n – m < r+k+eps. 
Segue-se então que r-eps<a*n –(m+k)<r+eps, o que nos mostra que A eh denso
em R, visto que m+k eh inteiro positivo e, portanto, a*n –(m+k) estah em A.

(2)Para provar (1), basta demonstrar que, para todo eps>0, A intersecta (0,
eps)---Pois, se x estah em A Inter (0,eps), entao, para todo real r>0, os
termos da sequencia x, 2x, 3x....estão todos em A e um deles estah em (r,
r+eps).

(3)Para provar (2) basta demonstrar que existem u1 e u2 em A tais que
|u1-u2|<eps. ---...A existência de tais elementos implica a existência de
inteiros positivos n1, m1, n2 e m2 tais que |a(n1-n2) – (m1-m2)|<eps. Logo
|a*|n1-n2| - |m1-m2|| <=|a(n1-n2) – (m1-m2)|<eps. E como |n1-n2| e |m1-m2|
são inteiros positivos, concluímos que existe u =a*|n1-n2| - |m1-m2| em A
satisfazendo a |u|<eps.

(4)Para x>=0, definamos frac(x) como a parte fracionaria de x, ou seja,
0<=frac(x) < 1 e  x – frac(x) eh o maior inteiro <=x (o piso de x).
Definamos ainda  S = {n*a, n natural}. Se provarmos a existencia de s1 e s2
em S que satisfacam a |s1-s2|<eps, teremos automaticamente provado (3).  
Para tanto, basta subtrair de s1 e de s2 um mesmo inteiro positivo m.

Logo, para provarmos o teorema basta provar (4). Para tanto, seja eps>0 e
dividamos [0, 1] em  um numero finito de subintervalos fechados de
comprimento < eps (isto eh sempre possível –propriedade Arquimediana do
conjunto dos reais). Eh entao imediato que S eh subconjunto de [0,1]. Alem
disto, S eh infinito. Para provar isto, basta provar que, se n<>p, entao
frac(n*a)<>frac(n*p). Suponhamos assim que n<>p e observemos que  n*a = In +
frac(n*a) e p*a = Ip + frac(p*a) , sendo In e Ip inteiros.Se frac(n*a) =
frac(n*p), entao n*a – n*p = (n-p)* a = In – Ip e a =(In-Ip)/(m-n), do que
concluímos que, contrariamente aa hipotese basica, a eh racional.
Como S eh um subconjunto infinito de [0,1] e este foi dividido em um numero
finto de subintervalos de comprimento <eps, segue-se (principio da casa dos
pombos) que pelo menos um de tais intervalos contem pelo menos 2 elementos
de S (na realidade, uma infinidade).  Isto prova (4) e, portanto, o teorema.
Interessante observar que para a racional a prova nao se aplica , pois o
conjunto S e sempre finito e A nunca serh denso em R.
Espero que eu não tenha cometido nenhum furo!
Abraços!
Artur
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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