[obm-l] Sequencias convergentes

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal:

Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
positivos} eh denso em R.

A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:

Sejam a, b reais tais que 0 < a < 1 < b e a^m*b^n <> 1, para quaisquer m, n
inteiros positivos.
Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
a(1) = a; b(1) = b
Para n >= 1:
a(n)*b(n) < 1 ==> a(n+1) = a(n)*b(n)  e  b(n+1) = b(n);
a(n)*b(n) > 1 ==> a(n+1) = a(n)  e  b(n+1) = a(n)*b(n).
Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.

Levando em conta que a^m*b^n <> 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
acabou...

Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.

Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.

Qulquer dica serah bem-vinda.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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