Re: [obm-l] Fatorial <> Quadrado

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Felipe,

a pergunta é mais geral do que esta: será que para n > 1 existe m tal que
f(m) = g(n)?

Duda.

From: "Felipe Pina" <pinaf@rjnet.com.br>
> > Oi, pessoal:
> >
> > Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial > 1 eh
quadrado
> > perfeito que nao use o postulado de Bertrand?
>
> Sim, uma demonstração bem simples.
>
> Sejam
>    f(n) := n^2
>    g(n) := n!
>
> => (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1
>    (DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! =
> n*(n!)
>
> Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1
>
> n >=4 => n! >= 24 => n*(n! - 2) >= 4*(24 - 2) = 4*22 = 88
> Ou seja, para n >=4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n)
> Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16
> g(4) > f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais.
> Resta apenas checar os pontos antes de 4...
>
> g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3)
> g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2)
> Então f(n) e g(n) são diferentes para todo n > 1.
>
> --
> Felipe Pina
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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