Re: [obm-l] Teoria dos numeros

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 14.09.03 20:37, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at
hpsbranco@superig.com.br wrote:

> Prove as seguintes afirmações:
> a) Se a é um inteiro ímpar, então 24 divide a*(a^2 - 1)
> b) Se a e b são inteiros impares, entao 8 divide a^2 - b^2
> No caso do item b) pensei em considerar a = 4k-1 e b = 4k+1. Eu perco a
> generalidade se fizer algo assim?
> 
Infelizmente voce perde, pois poderia ser a = 4k+1, por exemplo.

a) a impar ==>
a = 2k+1 para algum inteiro k ==>
a(a^2-1) = (2k+1)(4k^2+4k) = 4k(k+1)(2k+1)

Agora voce raciocina assim:
k e k+1 sao inteiros consecutivos ==>
um deles eh par ==>
2 divide k(k+1) ==>
8 divide 4k(k+1)(2k+1)  (*)

Se 3 divide k ou 3 divide k+1, entao 3 divide 4k(k+1)(2k+1) ==>
juntamente com (*) isso implica que 24 (=8*3) divide 4k(k+1)(2k+1)

Se 3 nao divide k nem k+1, entao k = 3m+1, para algum inteiro m ==>
2k+1 = 6m+3 ==>
3 divide 2k+1 ==>
3 divide 4k(k+1)(2k+1) ==>
juntamente com (*) isso implica que 24 divide 4k(k+1)(2k+1)

*****

b) Na verdade, isso eh decorrencia do fato de que se a eh impar entao 8
divide a^2 - 1, pois a = 2m + 1 ==>
a^2 - 1 = 4m^2 + 4m + 1 - 1 = 4m(m+1)

Mas, como visto acima, 2 divide m(m+1) ==>
8 divide 4m(m+1) = a^2 - 1.


Um abraco,
Claudio.
a^2 - b^2 = 4m^2 + 4m - 4n^2 - 4n = 4[m(m+1) - n(n+1)]

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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