[obm-l] Conjunto denso em R - Marcio

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 09.09.03 20:10, Marcio Afonso A. Cohen at marciocohen@superig.com.br
wrote:

> Espero que esteja certo, de uma conferida..
> 
> Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes
> continuas de a.
>
Oi, Marcio:

Realmente, com fracoes continuas o resultado sai, mas eu estava pensando
numa solucao mais elementar, usando apenas o PCP.

> Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+.... e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0,
> p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... )
> com n par satisfazem 0 < a - p_n/q_n < (1/q_n)^2
> Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um
> eps>0 qualquer, escolher n tq 1/q_n < eps.
> Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 < (q_n)*a - p_n < eps.
> Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum
> multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo.
>
> Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora
> olhando para as reduzidas de ordem impar.
> 
Esse eh a ideia chave: separar os casos B inter R+ e B inter R-. Obvia,
depois que alguem pensa nisso! Vou mandar uma msg com a solucao mais
elementar usando essa ideia.

> Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das
> relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto
> por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado
> a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que "eh"
> o algoritmo de euclides).
> 
> Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma
> (np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo
>> = 1/q. Em particular, B nao eh denso em R.
> Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em
> R.
>
Bom ponto. O Domingos tambem observou isso. Com a negativo, serah que B tem
algum ponto de acumulacao?
 
Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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