Re: [obm-l] Conjunto denso em R

["Marcio Afonso A. Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

    Espero que esteja certo, de uma conferida..

    Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes
continuas de a.
    Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+.... e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0,
p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... )
com n par satisfazem 0 < a - p_n/q_n < (1/q_n)^2
    Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um
eps>0 qualquer, escolher n tq 1/q_n < eps.
Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 < (q_n)*a - p_n < eps.
    Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum
multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo.
    Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora
olhando para as reduzidas de ordem impar.

Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das
relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto
por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado
a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que "eh"
o algoritmo de euclides).

Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma
(np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo
>= 1/q. Em particular, B nao eh denso em R.
    Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em
R.


----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, September 09, 2003 2:08 PM
Subject: [obm-l] Conjunto denso em R


> Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
> contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS}
eh
> denso em R.
>
> Qualquer ajuda serah bem-vinda.
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================