Re: [obm-l] Conjunto denso em R - Marcio

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Mas fraçoes continuas e o que ha pra esse tipo de
problema...
A soluçao com PCP deve ser parecida...Veja o
artigo do Gugu.
 --- Claudio Buffara
<claudio.buffara@terra.com.br> escreveu: > on
09.09.03 20:10, Marcio Afonso A. Cohen at
> marciocohen@superig.com.br
> wrote:
> 
> > Espero que esteja certo, de uma conferida..
> > 
> > Se a eh irracional positivo, olhe para as
> aproximacoes por fracoes
> > continuas de a.
> >
> Oi, Marcio:
> 
> Realmente, com fracoes continuas o resultado
> sai, mas eu estava pensando
> numa solucao mais elementar, usando apenas o
> PCP.
> 
> > Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+.... e as
> reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0,
> > p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... )
> > com n par satisfazem 0 < a - p_n/q_n <
> (1/q_n)^2
> > Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para
> infinito, podemos, dado um
> > eps>0 qualquer, escolher n tq 1/q_n < eps.
> > Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 <
> (q_n)*a - p_n < eps.
> > Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps)
> de R+, sempre existe algum
> > multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse
> intervalo.
> >
> > Para intervalos em R-, voce pode adotar uma
> ideia parecida, mas agora
> > olhando para as reduzidas de ordem impar.
> > 
> Esse eh a ideia chave: separar os casos B inter
> R+ e B inter R-. Obvia,
> depois que alguem pensa nisso! Vou mandar uma
> msg com a solucao mais
> elementar usando essa ideia.
> 
> > Obs: As demonstracoes desses resultados sobre
> as reduzidas decorrem das
> > relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n),
> satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto
> > por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por
> inducao, e pode ser conjecturado
> > a partir de uma analise das fracoes continuas
> de numeros racionais (que "eh"
> > o algoritmo de euclides).
> > 
> > Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os
> elementos de B sao da forma
> > (np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro,
> todos os elementos de B tem modulo
> >> = 1/q. Em particular, B nao eh denso em R.
> > Se a for negativo, entao B soh tem elementos
> negativos e nao eh denso em
> > R.
> >
> Bom ponto. O Domingos tambem observou isso. Com
> a negativo, serah que B tem
> algum ponto de acumulacao?
>  
> Um abraco,
> Claudio.
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista
> e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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