[obm-l] Capixaba - Questao 7

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Tinha me esquecido dessa...

7. As projeções ortogonais de um sólido sobre dois planos não paralelos são
círculos. Mostre que os dois círculos t6em o mesmo raio.
 
Chame os planos de p1 e p2, os quais contem os circulos (projecoes) de raios
R1 e R2, respectivamente. Seja s a reta comum aos dois planos.

Seja X um ponto do solido, X1 e X2 as suas projecoes ortogonais sobre p1 e
p2, respectivamente, e Xs o ponto de intersecao do plano determinado por X,
X1 e X2 com a reta s.

Como XX1 eh ortogonal a p1, XX1 eh ortogonal a cada reta contida em p1. Em
particular, XX1 eh ortogonal a s. Analogamente, concluimos que XX2 eh
ortogonal a s. Reciprocamente, s eh ortogonal a cada reta contida no plano
determinado por X, X1 e X2. Em particular, s eh ortogonal a X1Xs e a X2Xs.
Ou seja, Xs eh a projecao ortogonal de X1 sobre s e tambem a projecao
ortogonal de X2 sobre s.

Feito esse preambulo, suponhamos que R1 > R2.

Considere o diametro do circulo de raio R1 que eh paralelo a reta s. Tome,
sobre esse diametro, os pontos X1 e Y1, cada um situado a uma distancia de
(R1 - R2)/2 de cada extremidade do diametro. Isso quer dizr que
distancia(X1,Y1) = 2*R1 - 2*(R1 - R2)/2 = R1 + R2

Sejam A1 e B1 as projecoes ortogonais de X1 e Y1 sobre a reta s,
respectivamente. Como X1Y1 eh paralelo a s, teremos:
distancia(A1,B1) = distancia(X1,Y1) = R1 + R2 > 2*R2.

Sejam X e Y os pontos do solido cujas projecoes sobre p1 sao X1 e Y1, e
sejam X2 e Y2 as projecoes de X e Y sobre p2. Pelo preambulo acima, A1 e B1
tambem sao as projecoes de X2 e Y2 sobre s, respectivamente. Assim:
distancia(X2,Y2) >= distancia(A1,B1) > 2*R2.

Mas isso quer dizer que o segmento X2Y2 nao pode estar contido num circulo
de diametro 2*R2 ==>
contradicao, pois um tal circulo eh a projecao ortogonal do solido sobre p2
e X2 e Y2 sao projecoes de dois pontos do solido ==>
R1 <= R2.

Analogamente, provamos que R1 >= R2, e portanto, soh pode ser R1 = R2.


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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