Fw: [obm-l] Capixaba - Questao 7

["Eduardo Soares" <soareseduardo@xxxxxxxxxxx>]

valeu Cláudio depois eu vou colocar na lista as do nível 1 e 2.
----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, August 31, 2003 1:00 AM
Subject: [obm-l] Capixaba - Questao 7


> Tinha me esquecido dessa...
>
> 7. As projeções ortogonais de um sólido sobre dois planos não paralelos
são
> círculos. Mostre que os dois círculos t6em o mesmo raio.
>
> Chame os planos de p1 e p2, os quais contem os circulos (projecoes) de
raios
> R1 e R2, respectivamente. Seja s a reta comum aos dois planos.
>
> Seja X um ponto do solido, X1 e X2 as suas projecoes ortogonais sobre p1 e
> p2, respectivamente, e Xs o ponto de intersecao do plano determinado por
X,
> X1 e X2 com a reta s.
>
> Como XX1 eh ortogonal a p1, XX1 eh ortogonal a cada reta contida em p1. Em
> particular, XX1 eh ortogonal a s. Analogamente, concluimos que XX2 eh
> ortogonal a s. Reciprocamente, s eh ortogonal a cada reta contida no plano
> determinado por X, X1 e X2. Em particular, s eh ortogonal a X1Xs e a X2Xs.
> Ou seja, Xs eh a projecao ortogonal de X1 sobre s e tambem a projecao
> ortogonal de X2 sobre s.
>
> Feito esse preambulo, suponhamos que R1 > R2.
>
> Considere o diametro do circulo de raio R1 que eh paralelo a reta s. Tome,
> sobre esse diametro, os pontos X1 e Y1, cada um situado a uma distancia de
> (R1 - R2)/2 de cada extremidade do diametro. Isso quer dizr que
> distancia(X1,Y1) = 2*R1 - 2*(R1 - R2)/2 = R1 + R2
>
> Sejam A1 e B1 as projecoes ortogonais de X1 e Y1 sobre a reta s,
> respectivamente. Como X1Y1 eh paralelo a s, teremos:
> distancia(A1,B1) = distancia(X1,Y1) = R1 + R2 > 2*R2.
>
> Sejam X e Y os pontos do solido cujas projecoes sobre p1 sao X1 e Y1, e
> sejam X2 e Y2 as projecoes de X e Y sobre p2. Pelo preambulo acima, A1 e
B1
> tambem sao as projecoes de X2 e Y2 sobre s, respectivamente. Assim:
> distancia(X2,Y2) >= distancia(A1,B1) > 2*R2.
>
> Mas isso quer dizer que o segmento X2Y2 nao pode estar contido num circulo
> de diametro 2*R2 ==>
> contradicao, pois um tal circulo eh a projecao ortogonal do solido sobre
p2
> e X2 e Y2 sao projecoes de dois pontos do solido ==>
> R1 <= R2.
>
> Analogamente, provamos que R1 >= R2, e portanto, soh pode ser R1 = R2.
>
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================