Re: [obm-l] capixaba

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] capixaba

Aqui vai minha tentativa.

Um abraco,
Claudio.

on 30.08.03 19:55, Eduardo Soares at soareseduardo@hotmail.com wrote:

XVII olimpíada capixaba de matemática
Nível 3

1. ache todas as raízes reais da equação:  (x+1)21 +(x+1)20 .(x-1)+ (x+1)19 .(x-1)2+...++(x+1)21=0
   

Multiplicando a equacao por ((x+1) - (x-1)) e usando uma fatoracao bem manjada, obtemos: (x+1)^22 - (x-1)^22 = 0 ==>
(x+1)^22 = (x-1)^22 ==>
|x + 1|^22 = |x - 1|^22 ==>
|x + 1| = |x - 1| ==>
(como soh queremos as raizes reais)
x + 1 = x - 1   ou   x + 1 = 1 - x ==>
x = 0 eh a unica raiz real.


   2. Mostre que o número 111...111 formado por oitenta e um 1's é múltiplo de 81.
111...111 = (999...999)/9 = (10^81 - 1)/9

10^81 - 1 =
(10^27 - 1)(10^54 + 10^27 + 1) =
(10^9 - 1)(10^18 + 10^9 + 1)(10^54 + 10^27 + 1) =
(10^3 - 1)(10^6 + 10^3 + 1)(10^18 + 10^9 + 1)(10^54 + 10^27 + 1) =
(10 - 1)(10^2 + 10 + 1)(10^6 + 10^3 + 1)(10^18 + 10^9 + 1)(10^54 + 10^27 + 1) =
9 * A_1 * A_3 * A_9 * A_27, onde A_k = 10^(2k) + 10^k + 1

Logo, (10^81-1)/9 = A_1 * A_3 * A_9 * A_27

Mas cada A_k eh divisivel por 3, ja que tem apenas 3 algarismos nao-nulos, todos iguais a 1.

Assim, o produto dos A_k eh divisivel por 3^4 = 81.


   3. Um grilo dá saltos numa linha reta. Seu primeiro salto mede 1cm, o segundo 2 cm, e assim por diante. Em cada instante ele salta 1 cm a mais. cada salto é feito para frente ou para trás. É possível que depois de 2003 saltos esteja a 1 cm da posição que estava inicialmente?

Ou seja, o problema quer saber se N = +ou- 1 +ou- 2 +ou- 3 ... +ou- 2003 pode ser igual a 1 ou a -1.

Bem, a paridade de N eh igual a paridade de 1 + 2 + ... + 2003 = 2003*2004/2 = 2003*1002, que eh par. Logo, N nao pode ser impar e, em particular, nao pode ser igual a 1 ou a -1.


   4. Numa folha de papel estão escritas 58 dezenas de azul ou de vermelho. O número de maneiras distintas de se escolher três dezenas azuis é igual ao número de maneiras distintas de se escolher duas dezenas vermelhas e uma azul. Quantas dezenas azuis estão escritas no papel?

Existem N dezenas azuis e 58 - N vermelhas.

3 dezenas azuis podem ser escolhidas de Binom(N,3) maneiras distintas.

2 dezenas vermelhas e uma azul podem ser escolhidas de Binom(58-N,2)*Binom(N,1) maneiras distintas.

Assim, teremos a equacao:
Binom(N,3) = Binom(58-N,2)*Binom(N,1) ==>
N(N-1)(N-2)/6 = (58-N)(57-N)/2 * N ==>
(N-1)(N-2) = 3(58-N)(57-N) ==>
N^2 - 3N + 2 = 9918 - 345N + 3N^2 ==>
N^2 - 171N + 4958 = 0 ==>
N = (171 +ou- 97)/2 ==>
N = 134 (despreza-se pois N deve ser <= 58) ou  N = 37 ==>
N = 37 dezenas azuis.


   
   5. Sete inteiros positivos são escolhidos no conjunto { 1, 2, 3, ..., 126}. Mostre que, de qualquer maneira que se faça a escolha, dentre os sete escolhidos existem dois inteiros x e y , tais que x<y<=2x. O número 126 pode ser substituído por um inteiro maior?

Considere a seguinte particao de A = {1,2,...,126} nos seguintes 6 subconjuntos:
{1,2} U {3,4,5,6} U {7,8,...,14} U {15,16,...,30} U {31,32,...,62} U {63,64,...126}

Como sao escolhidos 7 elementos de A, pelo PCP existem (pelo menos) 2 deles que pertencerao ao mesmo subconjunto da particao. Chamemo-los de x e y, com x < y.

Para a = 1, 3, 7, 15, 31 ou 63, teremos a <= x < y <= 2a <= 2x.

Se ao inves de 126 tivessemos 127, poderiamos escolher os inteiros 1, 3, 7, 15, 31, 63 e 127 e, como eh facil verificar, 3 > 2*1, 7 > 2*3, 15 > 2*7, 31 > 2*15, 63 > 2*31 e 127 > 2*63 ==> nenhum par de inteiros {x,y} (x < y) dentre os escolhidos satisfaria a x < y <= 2x ==> 126 nao pode ser substituido por um inteiro maior.