Re: [obm-l] medidas

[Luiz Alberto Duran Salomao <salomao@xxxxxx>]

Caro Eduardo:
Andei um tempo afastado da lista e só agora pude ver sua mensagem
e
as outras que a sucederam.
Vou tentar esboçar uma solução para o exercício
5:
Chame os segmentos de AB e CD e suponha AB = a > b = CD. Daí,
a = b.q1 + r1, onde q1 é um natural e 0
< r1 < b;
b = r1.q2 + r2, onde q2 é um natural
e 0 < r2 < r1 ;
r1 = r2.q3  + r3, onde q3 é
um natural e 0 < r3 < r2 ;
.
.
.
e, assim, sucessivamente, pois "o processo nunca termina".
Agora, é fácil ver que r1 < a / 2,
r3 < r1 / 2, de onde r3 < a / 4,
r5 < r3 / 2, de onde r5 < a / 8,
.
.
.
isto é, vão aparecer "restos" arbitrariamente pequenos.
(*)
Agora, se houvesse um segmento de medida d (fixa) que fosse
submúltiplo de AB e CD, então ele também seria
submúltiplo dos segmentos de comprimentos r1 , r2
, r3 , etc.
Contradição com (*).

Acredito que esta solução esteja de acordo com os conceitos
apresentados no livro a que você se referiu.

Um abraço,
Luiz Alberto

Eduardo Soares wrote:

 Poderiam me ajudar com esses problemas do livro "medida  e forma em geometria"do Elon Lages. 5- Sejam dados dois segmentos de reta desiguais. Se, subtraindo sucessivamente o menor do maior; o resto de cada subtração nunca é um submúltiplo do resto anterior (isto é, o processo nunca termina), então os segmentos são incomensuráveis. 6- Diz-se que o ponto C, sobre o segmento AB, divide AB em média e extrema razão quando AB/AC=AC/BC. Prove que a divisão em média e extrema razão é hereditária, no seguinte sentido: se o ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão então, tomando D tal que AD=CB, o ponto D divide o segmento AC em média e extrema razão.

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